例談整體思維方法在解三角函數題中的應用

　　 整體思維是一種全面地、整體地思考問題的思維方式。整體思維要求我們在處理數學問題時，將需要解決的問題視為一個整體，從不同側面、不同角度，全面地分析問題的整體形式、整體結構，或對整體結構作適當調整、改造，從而達到找出解題思路或簡捷的解題方法的目的。整體思維在解題過程中，通過整體處理、整體觀察等形式來表現。下面，本人談談整體思維在解三角函數題中的應用。
　　 一、整體處理
　　 例1 求函數y=3tan(2x+) 的定義域。
　　 分析：這里把2x+視為一個整體，根據它應滿足的條件進行整體處理，問題可直接獲解。解：由正切函數的定義可知，2x+≠k?仔+，則x≠+，因此，函數y=3tan(2x+) 的定義域是x│x∈R且x≠+，k∈Z。
　　 二、整體觀察
　　 例2 求函數y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。
　　 分析：通過整體觀察，式中含有sinxcosx， sinx+cosx的式子，而sinxcosx可用 sinx+cosx表示出來，因此把 sinx+cosx視為一個整體，引進參數，問題即可解決。解：設 sinx+cosx=t ，則-≤t≤，sinxcosx=.y=+t=(t+1)2-1，當且僅當t=時，即x=2k?仔+(k∈Z) 時， ymax=+。
　　 三、整體求出
　　 例3 若sin(+)=，sin(-)= ，求tancot的值。
　　 分析：把tancot 視為一個整體，從已知條件中構造出關于這個整體的方程，問題即可速解。解：由已知得=，即=。顯然cossin≠0 ，分子、分母都除以cossin 得，，解得tancot=5。
　　 四、整體代入
　　 例4 已知tan=+1，求tan3-2tan2-2tan+3 的值。
　　 分析：直接代入求，顯然較繁，通過整體分析，發現所求值的式子可用tan-1 表示出來，這樣把tan-1視作一個整體代入，從而可化難為易。解：∵原式=tan(tan2-2tan+1)-3tan+3 =tan(tan-1)-3(tan-1)，由已知tan=+1 得tan-1= ，∴原式=(+1)()2-3=3 .
　　 五、整體配湊
　　 分析：整體配湊就是把所求式子視作一個整體，針對所求式子的特征，為其配上一個恰當的式子，使得這兩個式子通過某種運算得到一個有用的關系式，從而使問題獲解。
　　 例5 求sin220O+cos250O+sin20Ocos50O的值。
　　 解：設A=sin220O+cos250O+sin20Ocos50O，B=cos220O+sin250O+
　　cos20Osin50O，則A+B=2+sin70O① ，A-B=-cos40O+cos100O+sin(-30O )=-sin70O- ②，①+② 得：2A=2- ，解得A= ，即sin220O+cos250O+sin20Ocos50O = 。
　　 六、整體設想
　　 例6 證明：在△ABC 中，三內角A、B、C 任意兩個交換，式子cotA+ 的值不變。
　　 分析：如果將A 、B 、C 任意兩個交換，則有3種情況要一一加以證明，顯然較繁雜。如果我們從整體上考慮，設想只要能把式子化為輪換式，問題就可全部解決。證明： ∵ A+B+C=?仔，∴A=?仔-(B+C) ，∵ cotA+=cotA+=cotA+=cotA+cotB+cotC，而cotA+cotB+cotC 是關于 A、B 、C 的輪換式， ∴將A 、B 、C 中任意兩個交換，原式的值不變。
　　 七、整體轉化
　　 例7 已知sin+sin=， cos+cos=，求tan(+) 的值。
　　 分析：復數知識和三角知識聯系較多，有些三角問題我們可以整體轉化為復數問題求解，這也是一種思路。解：設z1=cos+isin，z2=cos+isin 則z1=z2=1，由復數模的性質得z1 z2===-+i，又z1 z2=cos(+)+isin(+)，∴cos(+