三垂線定理，想說愛你不容易

　　摘 要： 三垂線定理及其逆定理是高中立體幾何中的兩個十分重要的定理，它們不僅聯系著一系列主要概念，而且其證明中包含著較為典型的證題方法，在解題中有著廣泛的應用，所以一直以來被廣大師生所接受.但是，最新《江蘇省普通高中數學課程標準教學要求》中卻把如此重要的一個定理刪除了，這種做法引起了一線教師的廣泛關注.
　　關鍵詞： 三垂線定理 高中立體幾何 優缺點
　　一、集體備課時的爭論
　　《江蘇省普通高中數學課程標準教學要求》明確規定，自2011年起，“三垂線定理”不能作為推理論證的依據，這實際上就是刪除了三垂線定理的教學.而中職的《江蘇省普通高校對口單獨招生數學考試大綱》對此并沒有具體明確，該定理在教材中亦未出現，許多老師對要不要教存在許多爭議.
　　A教師：既然普高都不作要求了，那么我們中職更加沒有教的必要性.
　　B教師：不用三垂線定理，通過線面垂直也可以證明線線垂直，少一條定理，少一種方法，對學生來說，或許更容易掌握線線垂直的證明.
　　C教師：沒有了三垂線定理，證明線線垂直的時候就不得不依靠化歸思想轉化為線面垂直的性質，雖然方法單一，但證明過程繁復.
　　D教師：只要有考試，這個定理就不應該淡化，因為它是一個解題的利器，實際上要編一題無法用該定理的立體幾何題也并不容易，想要在教學中淡化，可能只是一廂情愿，況且中職大綱并沒有否定三垂線定理，讓學生多一種解題的方法何樂而不為呢？
　　二、什么是三垂線定理
　　三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
　　已知：如圖，斜線PO在平面α上的射影OA垂直于平面α內的直線a.
　　求證：OP⊥a.
　　證明：過點P做PA垂直于α于點A
　　∵PA⊥α
　　∴PA⊥a
　　又a⊥OA，OA∩PA=A
　　∴a⊥平面POA
　　∴a⊥OP
　　三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面上的射影垂直.
　　三垂線定理及其逆定理描述的是斜線、射影和平面內直線之間的垂直關系，前者實際上是平面內一條直線和平面的一條斜線垂直的判定定理，后者實際上是平面內的一條直線和平面的一條斜線垂直的性質定理.這兩個定理的實質是：平面內的一條直線與平面的斜線及其在平面內的射影同時垂直.它揭露了平面的垂線、斜線、斜線在平面內的射影和平面內的一條直線的某種位置關系的內在聯系.這兩個定理歷來是高中立體幾何教材中“直線和平面”章節的一個重點.
　　三、三垂線定理的優缺點
　　運用三垂線定理及其逆定理時，不但要掌握其規律，還要通過分析、觀察，確定垂面，找準斜線，再抓住斜足、垂足連成射影，最后還要查找垂面內的線，其中關鍵是要找到平面的垂線，不能想當然地見垂直就確定為垂線.然而，找垂線、射影恰恰是一個難點，整個過程對于學生來說無疑是很困難的.因此在三垂線定理教與不教的爭論中，有教師提出定理即使教給學生，學生也未必能掌握，如果記錯還不如不教，何況通過線面垂直也可以證明線線垂直，刪掉三垂線定理的教學，從某種程度上講是降低了立體幾何教與學的難度.
　　三垂線定理及其逆定理的教學始終是教學難點之一，教師用兩節課的時間也未必能讓大部分學生很好地理解并掌握證明過程.用三垂線定理解題時，常常需要添加輔助線，使得教師在教學工作中很難合理地解釋其原理.并且，由于三垂線定理純粹的幾何特性，使得教師在教學工作中也很難將代數與立體幾何聯系在一起，這樣必然造成學生認知上的斷層，造成學生數形結合思想形成的困難.同時由于教學時間不充裕，增加三垂線定理無疑是加重了學生的學習負擔，因此有教師提出，既然沒有沒有明確的教學要求，就不必在此浪費時間，做吃力不討好的事情.而且刪掉三垂線定理的教學，也可以降低教師教的難度.
　　那么，三垂線定理真的有那么難嗎？學習三垂線定理真的沒有一點價值嗎？三垂線定理是在線面垂直的基礎上來研究直線間垂直關系的重要定理，它闡明了平面的斜線、射影，以及平面內的直線三者的垂直關系，溝通了線線關系、線面關系，并為今后學習面面垂直、空間角、多面體與旋轉體的性質等奠定基礎.通過三垂線定理的教學，不但可以增強學生知識的系統性，擴大學生的視野，而且有利于培養學生的邏輯思維能力.
　　四、三垂線定理要不要教
　　三垂線定理的條件具有明確性，它的圖像的模型具有清晰性，定理本身具有很高的認識性.知識是客觀存在的，不應以課本有無收錄而轉移.《中等職業學校數學教學大綱》既注重考查考生的數學基礎知識、基本技能、基本思想和方法，又注重考查考生進入高等學校繼續學習所必需的基本能力.中職單招學生將面臨高考，高考是選拔性考試，要求考生知識全面、系統.能在高考中能用一些課外的方法來解決問題，我想這才是考試初衷.另外在思想方法層面上，三垂線定理的教學也有利于培養學生分析問題和解決問題的能力.
　　鄧小平說過：不管白貓黑貓，逮住老鼠就是好貓。以往的教學效果說明，三垂線定理的存在有它的合理性，是一個非常有用的定理.所以，我的觀點是：三垂線定理不僅要教，而且要教好.
　　參考文獻：
　　［1］王亞男，陳麗敏.高中立體幾何中刪除三垂線定理的利弊［J］.中國數學教育雜志，2010，1.
　　［2］江蘇省教育廳.江蘇省普通高中數學課程標準教學要求［M］.2011.
　　［3］中華人民共和國教育部.中等職業學校數學教學大綱［M］.2009.
　　［4］江蘇省教育廳.江蘇省普通高校對口單獨招生數學考試大綱［M］.200