初中生代數運算技能量化分析研究

　　摘要： 為了了解初中學生數學代數運算技能，作者選取了南寧市示范性中學初三學生進行測試調研，結果表明：在初中生數學解題過程中，初中學生的代數數學基本運算中出現看題不清、忘記符號等問題，作者針對數學基本運算技能的熟悉程度及學生解題正確率兩方面的問題，提出相應的建議。
　　關鍵詞： 運算技能 數學解題 量化分析
　　數學的運算技能是指正確地運用各種基本運算律進行數學運算和正確運用各種數學基本概念、性質、公式、法則、定理進行數與式的變形。對于運算技能的研究，國家早在20世紀50年代，教育部頒行的《中學暫行規程（草案）》明確要求：中學的主要教育目標是：“一、使學生……得到現代科學的基本知識和技能，養成科學的世界觀。”又在20世紀50年代末、60年代初制定著名的“63大綱”的系列討論中明確“傳授數學基本知識，培養基本技能是中學數學教育的首要目的”，在其后幾十年基本運算技能在各個版本的教育學書籍及教學大綱都有涉及，且在數學教育的發展中一直受到重視。
　　對于運算技能的研究從理論和實踐兩個層面上展開，比如近年來，從教育理論和教育實踐的結合上研究“雙基”教學，探索數學教學的客觀規律，其中在對中學數學基本技能上的研究理論，是受了布魯姆教育目標理論“合理內核”的影響，按內容分為了運算、推理、圖形技能三個大項，其中運算分成了整式運算、因式分解和配方三大項論文進行了基本技能對數學教學系統影響的研究，并沒有更加深入探究運算技能對中學學生數學解題的影響。本文通過編制一套代數基本運算技能量化的測試卷，其中測試卷代數運算分成了實數、整式、分式、方程、不等式的運算、因式分解和配方，基本包含了初中所有代數運算，更加深入分析代數運算技能量化的初中學生在解題中出現的問題，并比較學生在掌握一步運算和多步運算上的正確率差異，提出解決建議。
　　1.研究方法
　　1.1被試。
　　被試為南寧市示范性中學初三年級一個班的學生，發放難度不同的兩套調查問卷，其中先發較為容易的卷（一），卷（一）的運算都為一步運算，發下后十五分鐘后收取，再發難度較大的卷（二），卷（二）的計算都為多步運算，發下后二十分鐘后收取，卷（一）卷（二）各55份，卷（一）有效試卷52份，卷（二）有效試卷48份。
　　1.2測查工具。
　　根據現行初中數學教材自編的數學基本運算技能測試題兩套，兩套試題包含現初中數學所學基本運算，實數、整式、分式、方程、不等式的運算、因式分解和配方。題目根據要測試學生對基本技能的熟悉程度、運算速度、正確率等目的編制而成，具有明顯的代表性適合初三學生進行測試。發放不同難度的試卷，便于對測試結果能夠進行對比分析，檢驗是否達到顯著差異。
　　1.3調查過程。
　　南寧市示范性中學初三學生測試用時45分鐘。在施測過程中有任課老師的積極配合和幫助，并由研究人員主持測試。
　　2.調查結果分析
　　2.1學生對不同難度運算技能的對比研究。
　　我們先計算出每個同學在不同難度的測試卷的得分，對得到的數據分成卷（一）與卷（二）兩組，我們對不同難度測試的得分進行整體的差異性檢驗，看學生對不同難度試題的運算技能是否存在差異，為了進一步比較這種現象是否達到統計學意義上顯著差異，我們采用統計學軟件SPSS17.0對兩相關樣本均值進行差異的顯著性檢驗，結果如表1所示。
　　表1 學生對不同難度試題的運算技能顯著性檢驗
　　（注：p<0.05達到顯著性）
　　從表1可以看出：學生在解不同難度試題時運算技能差異很大，p=0.000<0.05，達到了統計學上非常顯著性程度，即學生對容易的試題運算能力強，對于難度大的試題運算能力差，并且這種差異達到了非常顯著性水平。
　　2.2對一步運算與多步運算的第一步運算正確率的差異比較分析研究。
　　前面我們對兩份測試卷進行了整體的差異分析，從整體上了解到學生在解不同難度試題時運算技能存在顯著差異。現在我們進行具體分析，計算出卷（一）與卷（二）中的第一步運算的得分，看一步運算與多步運算的第一步運算正確率是否存在差異，差異是否達到顯著性水平。我們采用統計學軟件SPSS17.0對兩相關樣本均值進行差異的顯著性檢驗，結果如表2所示。
　　表2 對一步運算與多步運算的第一步運算正確率的差異顯著性檢驗
　　（注：p<0.05達到顯著性）
　　從表2可以看出：卷（一）的一步運算成績比卷（二）的第一步運算高，p=0.001<0.05達到了統計學上顯著性程度，即學生在對于難度不同的第一步運算的正確率有很大的差異，并且這種差異達到了顯著性水平。對于為什么在第一步運算就產生顯著性差異，筆者認為可以從兩個方面分析：（1）部分學生在面對難度較大的運算時，就從心理上膽怯地認為自己不一定可以做正確，自信心不足從而導致在第一步運算時就錯誤率上升。（2）卷（二）多步運算的內容較多，且時間上緊迫，部分學生在做題時怕時間不夠，急急忙忙做題，從而導致運算時錯誤率上升。對于學生在不同難度運算中出現的具體問題，我們將在下面進一步討論。
　　2.3典型試題分析。
　　為了更清晰地了解學生在解題中出現的問題，我們對部分典型的試題進行分析。
　　辨析：對于這樣的基本代數運算的考查，在解卷（一）中的算式時學生很容易忘記對常數分式進行約分，而直接寫出答案，在這次測試中部分學生只對常數進行了除法法則，而對于字母進行了乘方。在解卷（二）中的算式的第一步上大部分很好地完成乘法的運算，但是在第二步運算中犯了卷（一）上出現的錯誤，并且犯錯率比卷（一）高，學生因為時間的原因增加了錯誤率。從此類式的運算中，看出部分學生并沒有對字母的運算法則理解且掌握不夠熟練。
　　辨析：對于這樣基本的不等式運算，卷（一）中學生出現了4漏乘括號里的常數1的情況，還有些學生漏乘了1的符號，從而導致錯誤，并出現在運算過程中不等式兩邊同除以負數時沒有變符號的錯誤，在卷（二）中學生在兩邊通分乘以6時，部分學生忘記將式3x-1的把3與2相乘，不等式兩邊移項變號的問題在第二步出現，此題把學生在做題中馬馬虎虎，粗心大意，以及計算技能不熟練的缺點暴露無遺。
　　3.討論
　　3.1以上的分析可知，數與式的運算，大部分運算都正確，只少部分出現錯誤，充分說明學生的知識理解透徹，大部分錯誤出現在數的運算馬虎，而卷（二）比卷（一）出現錯誤率更高，從問題1和2上分析出第二步出現錯誤率更高，說明在時間緊迫和難度加大的情況下，錯誤率提高了，充分說明學生運算技能不夠熟練。在學生練習上只是進行單一的練習，僅僅按照程序進行簡單的練習，沒有用大量練習進行鞏固，所以學生只是模糊掌握了基本運算技能。從中可得大量的量化訓練對運算技能的掌握與熟練有促進的作用。
　　3.2從問題3，當學生面對因式分解和配方兩個概念時模棱兩可，把握不準，即基本概念理解不夠透徹和深入的問題，而造成極高的錯誤率，那么熟練是否能自然地達到理解？就“熟能生巧”的本意，“熟”與“巧”之間似乎有邏輯必然性。能夠給它提供事實證據的，例如各種工藝性勞動技能等。但是，就數學學習這樣的活動而言，情況又如何呢？問題3從學生卷（一）和卷（二）出現問題相同，從中可看出，量化的訓練并沒有提高正確率，這一點和菲斯拜因《關于學習教學數學歸納原理的心理困難》一文中提到“即使學生能夠用數學歸納法熟練的證明，但他們對這種方法的本質存在著不理解”，在田中“雙基”教學研究探索中做過調查，情況也是熟練并沒有理解。從中我們可以了解，對于運算技能的訓練，不但需要一定的量，而且要結合學生自身的數學素質理解性的培養目標施行的訓練才有高效率的價值。
　　3.3從測試卷的完成率來看，在加大難度的測試中，基礎知識牢固，認真嚴謹的學生，在第一步和第二步的正確率較高，運算速度較快且完成率高，而部分學生由于基本知識沒有完全透徹的理解，對于連續基本運算技能練習中出現的錯誤并沒有得到很好的信息反饋，了解自己的錯誤原因，而出現較多的錯誤和部分空白，從中看出基礎牢固，認真嚴謹的學生運算技能明顯高于基礎知識不牢固、馬虎的學生。
　　4.結論與建議
　　綜上所述，初中學生數學代數基本運算技能受三重因素影響，學生自身掌握運算技能知識程度、良好的運算習慣和認真仔細的運算態度。結合初中生年齡和心理特征，對代數基本運算技能培養可以從這三方面著手。
　　4.1務實基礎，幫助學生正確理解，掌握代數基本運算方法，培養良好的運算習慣。
　　數學運算的實質就是根據相關的運算概念，利用性質、公式、定理、法則等從已知的數據及算式出發推導出結果的過程。學生只有真正理解和掌握這些基礎知識及運用它們進行運算的基本程序后，通過模仿和練習，才能初步形成運算技能。初步形成的運算技能來源于模仿，雖然學生基本上會用相關的知識進行運算但邏輯不嚴謹，教師要給學生一個明確的運算程序和一個規范的運算板演，讓學生養成一個規范化的書寫習慣。在測試卷出現了大量簡單運算中的錯誤，從中看出培養學生經常檢查分析自己的錯誤，在以后的運算中就可以逐漸減少錯誤的發生，提高正確率。
　　4.2加強運算訓練，逐步提高學生的運算技能和速度。
　　在測試卷（二）中多出現空白，大多學生是沒有時間去完成，多加練習訓練可以培養學生的運算速度。練習題目要設計得科學合理，運算練習，是學生理解鞏固相關概念、提高運算技能、拓廣思路的重要途徑。在設計練習題時，要注意學生的學情，注重知識的系統性、聯系性和階段性。突出典型和重要掌握的題型，重點針對學生可能出現錯誤較多的知識點訓練。
　　4.3課堂上及時讓學生反饋訓練信息，并進行訂正，查漏補缺。
　　現在大多老師，經常布置大量的課外作業，因為太多，沒有時間進行批改，學生只練沒有進行講評，不知道自己是否做對，錯誤在哪里，而又該怎么更正，效果不明顯而在課堂上學生完成練習題時，老師及時地給出答案，并進行講評，讓學生知道自己運算是否正確，錯誤在哪里，及時更正并引以為戒。讓學生自己訂正錯誤，學生錯誤信息得到反饋，在以后類似的學習中便會加強注意，避免再次出現錯誤。長此下去，運算技能便會不斷強化，達到理想效果，其實老師可以根據學生課堂掌握情況來布置課外作業，對于學生較容易出錯的，可以設置多一點練習，這樣既減輕了老師的負擔，又減輕了學生的負擔。
　　參考文獻：
　　[1]周宇劍.提高職高學生數學運算技能的研究與實踐[D].中國優秀碩士學位論文全文數據庫.湖南師范大學，2007.
　　[2]國家教育委員會基礎教育司.全日制普通高級中學數學教學大綱學習指導[M].北京：人民教育出版社，1996.
　　[3]葉瀾.教育概論[M].人民教育出版社，1999.
　　[4]金洪源.學科學習的困難的診斷與輔導[M].上海：上海教育出版社，2004.
　　[5]田中，徐龍炳，張奠宙.數學基礎知識，基本技能教學研究探索[M].上海：華東師范大學出版社，200