數學高考中合情推理的類型評析

　　合情推理是根據已有的事實和正確的結論（包括經驗和實踐的結果），以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程.這種推理的途徑是從觀察、實驗入手，憑數學直覺，通過類比而產生聯想、歸納而提出猜想.歸納推理和類比推理是合情推理常用的思維方法.近年的高考明顯加大了這方面的考查力度.
　　歸納推理是常考類型，而類比推理作為考查學生學習潛能的重要陣地，近年成為考試命題的熱點，往往被設計為填空題或者選擇題的壓軸題目，不僅有概念與性質層面的類比，而且有過程與方法的類比.下面對合情推理在高考中的類型進行歸納和評析.
　　一、 歸納推理由特殊到一般
　　例1.設函數f（x）=（x＞0），觀察:
　　f（x）=f（x）=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　……
　　根據以上事實，由歸納推理可得：
　　當n∈N且n≥2時，f（x）=f（f（x））= ?
　　答案：.
　　例2.觀察下列等式
　　1=1
　　2+3+4=9
　　3+4+5+6+7=25
　　4+5+6+7+8+9+10=49
　　……
　　照此規律，第n個等式為 ?
　　答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）.
　　評析：以上兩題的難度不大，此類問題重在考查學生的觀察能力和歸納推理能力.可利用歸納推理直接從已知的幾個特殊情況歸納出一般情況，達到解題的目的.這種歸納推理考查了學生的推理論證能力.
　　合情推理中的類比推理指的是依據兩個數學對象的已知相似性，把其中一個數學對象已知的特殊性質遷移到另一個數學對象上去獲得后一個數學對象的性質的一種方法，是特殊到特殊的推理.在數學中常用的類比形式有：“數”與“形”的類比；平面與空間的類比；高維與低維的類比；有限與無限的類比；解題方法的類比，等等.
　　二、類比聯想與合情推理
　　例3.在等差數列{a}中，若a=0，則有等式a+a+…+a=a+a+…+a（n<19，n∈N）成立，類比上述性質，相應的，在等比數列{b}中，若b=1，則有等式 成立.
　　解析：本題考查等差數列與等比數列的類比.一種較本質的認識是：等差數列用減法定義，性質用加法表述（若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a）；等比數列用除法定義，性質用乘法表述（若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a?a=a?a）.
　　由此，猜測本題的答案為：bb…b=bb…b（n<17，n∈N）.事實上，該性質可證.
　　評析：本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力和抽象概括能力，考查運用類比的思想方法，由等差數列{a}而得到等比數列{b}的新的一般性的結論.
　　例4.在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB+AC=BC.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是:“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩相互垂直，則 ?”
　　解析：關于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應關系作對比：多面體與多邊形；面與邊；體積與面積；二面角與平面角；面積與線段長 ……由此，可類比推測本題的答案： S+SS=S.
　　評析：本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣，因此平時教學與復習中要注意類比等思想方法的學習，更要注意研究性學習在數學中的適時切入.
　　三、方法類比提升推理層次
　　例5.在某些數列的求和中，可把其中一項分裂成兩項之差，使得某些項可以相互抵消，從而實現化簡求和.例如：已知數列{a}的通項為a=，則a=-，故數列{a}的前n項和S=（1-）+（-）+…+（-）=1-=.“斐波那契數列”是數學史上一個著名的數列.在斐波那契數列{a}中，a=1，a=1，a=a+a（n∈N），若已知a=a，那么數列{a}的前2011項和是 ?
　　解析： S=a+a+a+…+a+a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）=a-a=a-1.
　　例6.已知數列{a}的通項為a=（2n-1）?2，求其前n項和為S時，我們用錯位相減法，即由S=1?2+3?2+5?2+…+（2n-1）?2得2S=1?2+3?2+5?2+…+（2n-1）?2，兩式相減得-S=2+2?2+2?2+…+2?2-（2n-1）?2求出S=（2n-3）?2+6，類比推廣以上方法，若數列{b}的通項為b=n?2，則其前n項和為T= ?
　　解析：
　　∵T=1?2+2?2+…+（n-1）?2+n?2
　　∴2T=1?2+2?2+…+（n-1）?2+n?2
　　∴-T=2+3?2+5?2+…+（2n-1）?2-n?2
　　=（2n-3）?2+6- n?2
　　故T=（n-2n+3）?2-6.
　　綜上所述，合情推理這類試題考查了學生分析、解決問題的能力，要求學生有一定的創新能力，能利用已學過的知識，在新的環境下獨立獲得新的知識結論.因此教學中要引導學生的思維向深度、廣度拓展，掌握猜測歸納推理數學規律的方法，養成“觀察—歸納（類比）—猜想—論證”的思維習慣，從而提高數學素養.