淺析不定積分的積分方法

　　摘 要： 在高職高專院校高等數學的不定積分章節的學習中，有三種積分方法，分別是第一類換元積分法，第二類換元積分法和分部積分法.部分學生在積分運算中，對積分方法的選擇不知如何著手.針對這種現象，本文對三種積分方法加以總結，以便學生對積分方法能更好地掌握.
　　關鍵詞： 不定積分 換元積分法 分部積分法
　　
　　一、第一類換元積分法
　　定理1（第一類換元積分法）設f（u）具有原函數，u=φ（x）可導，則有換元積分公式
　　f［φ（x）］φ′（x）dx=［f（u）du］.
　　第一類換元積分公式實質上就是：f［φ（x）］φ′（x）dx=f［φ（x）］d［φ（x）］.
　　第一類換元積分公式在運用過程中，應用的關鍵是確定新的積分變量φ（x），那么如何確定φ（x）？方法有如下兩種.
　　1.通過對所求不定積分中被積函數的觀察，發現函數中既含有φ（x）又含有φ′（x），則我們就可以猜測出新的積分變量為φ（x）.
　　例如：求dx
　　分析：所求不定積分的被積函數為，因為（lnx）′=，所以我們可以把看做lnx，則新的積分變量φ（x）=lnx.
　　解：dx=［lnx］dx=lnxd［lnx］=lnx+C
　　2.通過對所求不定積分的觀察，猜測出所要運用的基本積分公式，基于這個公式確定新的積分變量φ（x）.
　　例如：求sin3xdx
　　分析：所求不定積分為sin3xdx，觀察后發現我們所用的基本積分公式為sinxdx=-cosx+C，但是所求積分的被積函數不是sinx而是sin3x，我們可以把3x看做一個整體，就是新的積分變量φ（x），即φ（x）=3x.
　　解：sin3xdx=［sin3x］3dx=［sin3x］d［3x］=［sin3x］d［3x］=-cos3x+C
　　二、第二類換元積分法
　　定理2（第二類換元積分法）設函數x=φ（t）單調，可導，且φ′（t）≠0，f［φ（t）］φ′（t）的原函數存在，則有換元積分公式
　　f（x）dx=［f［φ（t）］φ′（t）dt］，
　　其中t=ψ（x）是x=φ（t）的反函數.
　　第二類換元積分公式在何時運用？我認為：重點是解決被積函數中含有“根號”的F7zViwaPmvMBWbLi4VgyBs24EkzsS2kwef3k98GsBKw=積分問題.那么在學習中遇到的常見的含有根號的情形有幾種呢？我總結了一下共有四種，分別是：；；；.
　　如何消除被積表達式中的根號？做適當變量替換即可，針對以上四種情形具體替換如下：
　?、?對，設t=；
　?、?對，設x=asint；
　?、?對，設x=atant;
　　④ 對，設x=asect.
　　原來關于x的不定積分轉化為關于t的不定積分，在求得關于t的不定積分后，必須代回原變量.在進行三角函數換元時，可由三角函數邊與角的關系，作三角形，以便于回代.在使用第二類換元法的同時，應注意根據需要，隨時與被積函數的恒等變形、不定積分性質、第一類換元法等結合使用.
　　例如：求dx
　　分析：所求不定積分的被積函數中含有根號，符合上述情形中的第三種，由此我們做替換x=2tant即可.
　　解：dx=?2sectdt=sectdt=ln（sect+tant）+C=ln++C=ln（+x）+C
　　三、分部積分法
　　分部積分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx（其中u=u（x）與v=v（x）都具有連續導數）
　　分部積分法主要是解決被積函數是兩類不同類型函數乘積的不定積分問題.這里我們所說的函數類型指的是反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數五種基本初等函數.當然在具體應用時被積函數未必是這五種類型，有可能是相似的類型，我們在應用公式前，只需要將所求的不定積分運用其他的積分方法適當變形轉化為這五種函數即可.
　　應用分部積分公式的關鍵是確定公式中的u和v′，如何確定它們？可按照反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數的順序（即“反、對、冪、三、指”的順序），把排在前面的那類函數選作u，而把排在后面的那類函數選作v′.
　　例如：求xsinxdx
　　分析：不定積分中的被積函數xsinx為兩類不同類型的函數乘積，所以我們就要應用分部積分法，其中u為x，v′為sinx，則u′=1，v=-cosx把上述四項代入公式即可.
　　解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C
　　小結：我們學習以上三種積分方法的目的就是要把我們所計算的不定積分問題轉化為我們所熟悉的基本積分公式來處理，當然，這些積分方法在運用時往往不是單獨使用，大多數情形下都是混合使用，甚至要多次使用.
　　
　　參考文獻：
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　　［3］陳傳樟等.數學分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.