例析初中代數解題方法

　　摘 要： 代數是初中數學的一個重要內容，學好代數對于中學生至關重要.文章介紹了初中代數解題的6種方法，包括常用的基礎解題法和技巧解題法.
　　關鍵詞： 初中代數 基礎解題法 技巧解題法
　　
　　數學離不開思維.很多學生天天做練習，但成績就是不理想.主要原因是沒有吃透教材的基本原理，沒有掌握解題的科學方法.只有掌握方法，才能觸類旁通，舉一反三.不管遇到什么難題，都能得心應手，迎刃而解.那么在初中代數中有哪些基礎解題法和技巧解題法呢？
　　一、待定系數法
　　用一個或多個字母來表示與解答有關的未知數，這些字母就叫待定系數法.待定系數法是一種最基本的數學方法，這個方法多用于多項式運算、方程和函數.
　　例1：根據二次函數的圖像上（-1，0）、（3，0）、（1，-4）三點的坐標，寫出函數的解析式.
　　解：由題設知，當x=-1和x=3時，函數y的值都等于0.故設二次函數：y=a（x+1）（x-3）（兩點式）.把（1，-4）代入上式，得a=1.故所求的解析式為y=（x+1）（x-3）=x-2x-3.
　　注意：用待定系數法確定函數式時要講究一些解題技巧.此題可設所求二次函數的解析式為y=ax+bx+c，用待定系數法，把已知的三點代入，得到一個三元一次方程組，進而求出三個待定系數a，b，c，但這種解法運算量較大.而運用兩點式則大大減少了運算量，提高了解題效率與準確率.
　　例2：已知3x+7y+z=3.15，4x+10y+z=4.20，求x+y+z的值.
　　解：設x+y+z=a（3x+7y+z）+b（4x+10y+z）=（3a+4b）x+（7a+10b）y+（a+b）z
　　所以得到三個等式：3a+4b=1，7a+10b=1，a+b=1
　　聯立上面三個式子解得：a=3，b=-2，所以x+y+z=3×3.15-2×4.20=1.05.
　　這道例靈活運用待定系數法便可巧妙解出，它考查了學生的觀察能力與思維能力.
　　二、配方法
　　配方，一般是指在一個代數式中通過加減相同的項，把其中若干項變形為n次冪形式的項.這是恒等變形的重要方法之一.因為它有廣泛的遷移意義.
　　例3：分解因式x+64.
　　解：x+64=（x+16x+64）-16x=（x+8）-（4x）=（x+4x+8）（x-4x+8）
　　例4：（x-z）-4（x-y）（y-z）=0，求x+z-2y的值.
　　解：由已知條件得x-2xz+z-4xy+4y+4xz-4yz=0，即（x+z）-4（x+z）y+4y=0，則［（x+z）-2y］=0，所以x+z-2y=0.
　　三、換元法
　　把一個簡單的含變元的式子替換一個較為復雜的含變元的式子，可使問題得以簡化.這樣的方法就叫做換元法.換元法是數學中重要的解題方法，根據問題的特點進行巧妙換元，往往可以化繁為簡，化難為易，收到事半功倍的功效.
　　例5：計算：（2+3.15+5.87）×（3.15+5.87+7.32）-（2+3.15+5.87+7.32）×（3.15+5.87）
　　解：設a=3.15+5.87，b=3.15+5.87+7.32
　　所以，原式=（2+a）×b-（2+b）×a=2（b-a）=2×7.32=14.64.
　　例6：解方程組x-xy+y=363x-xy+3y=0
　　解：令x+y=uxy=v（1）
　　代入方程組中，得u-3v=363u-v=0，解得u=12v=36和u=-3v=-9，
　　代入（1）式中，得x+y=12xy=36，x+y=-3xy=-9，
　　分別解之，得x=6y=6，x=y=.
　　以上三種方法是我們初中階段較常見較重要的基礎解題方法，愿同學們能從中得到啟發，重視中學數學中的解題基本方法.下面介紹三種技巧解題方法，希望對同學們的觀察力和思維能力的提高有所幫助.
　　四、構造法
　　構造法是一種實用的解題技巧.解決一些問題時，應用它常常會使問題迎刃而解，又有利于培養學生的創新能力.
　　例7：已知2m-5m+1=0，2n-5n+1=0，且m≠n，求+的值.
　　分析:若解出m，n的值，再把它們代入，+顯然計算很麻煩;但注意到已知的兩個等式形式相同，并且具有一元二次方程的形式，這啟示我們要構造一元二次方程，利用韋達定理求原代數式的值.
　　解:由題設知m，n是方程2x-5x+1=0的兩根，
　　由韋達定理，得m+n=，mn=.
　　所以+====10.
　　五、猜測與歸納法
　　有些數學問題的一般結論難以根據題設條件“一眼看穿”，往往先分析某些簡單的、特殊的或現成的情況，使用經驗歸納這一推理方法，從中猜測，并由此發現規律，探得解題途徑.
　　例8：求出2是多少位數字?
　　解:因為2=（2）=1024＞1000=10，
　　所以2的位數不會少于31位.
　　又因為＜=＜??…?=＜0，所以2=1024＜10?10=10，即2的位數少于32.因此2的位數為31.
　　六、幾何解法
　　代數與幾何是初中數學兩個重要分支，數形結合是數學一種重要方法.幾何將抽象的數量關系通過直觀的圖形形象地展示出來.
　　例9：設m，n，p均為正實數，且m+n-p=0，求的最小值.
　　分析：由m+n-p=0可想到構造直角三角形；由可想到三角形對應邊的比.
　　解：構造Rt△ABC，AC=m，BC=n，AB=p，延長BC到D，使DC=AC=m，連接AD，則BD=m+n，AD=m，∠D=45°，交BD于E點，可證△BAE與△BDA相似，所以=，即==，又因為AC⊥BD，則AE≥AC，所以當AE=AC=m時，值最小，即的最小值為.
　　
　　參考文獻：
　　［1］鐘光義.構造法在初中代數中的應用［J］.數學學習，2004，（1）.
　　［2］王書江.含條件代數式求值問題幾種解法［J］.數學教學通訊，1999，（1）.
　　［3］曹偉.一道代數題的三種幾何解法延伸［J］.語數外學習，2007，（6）.