利用橢圓的定義設(shè)計(jì)一類張角有關(guān)問(wèn)題

　　摘 要： 橢圓的定義為：橢圓上任一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為定值2a，即：|PF|+|PF|=2a，這個(gè)定義在求解一些與橢圓上點(diǎn)有關(guān)的命題時(shí)作用顯著.作者結(jié)合這一特點(diǎn)，著重討論與張角∠FPF有關(guān)的一些問(wèn)題，展現(xiàn)了余弦定理與橢圓的定義的綜合應(yīng)用.
　　關(guān)鍵詞： 橢圓 定義 張角 焦點(diǎn) 余弦定理
　　
　　高中橢圓教學(xué)中，我們常會(huì)討論與橢圓上點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，這時(shí)常會(huì)想到橢圓的定義.橢圓也是圖形，有時(shí)通過(guò)圖形的幾何性質(zhì)我們能很快地將問(wèn)題求解，橢圓的定義應(yīng)用很多，本文著重討論某類張角的有關(guān)問(wèn)題，并以其為基礎(chǔ)進(jìn)行題型的設(shè)置.
　　問(wèn)題一：已知F、F是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF⊥PF.若△PFF的面積為9，則b＝ .
　　解析：設(shè)|PF|=m，|PF|=n，則由橢圓定義及勾股定理得：m+n=2am+n=4c
　　∴2mn=（m+n）-（m+n）=4a-4c=4b（其中b=a-c）
　　∴S＝mn＝b＝9
　　∴b＝3
　　本題巧用橢圓定義及直角三角形的勾股定理得到m，n的關(guān)系式，然后通過(guò)配方恰好發(fā)現(xiàn)三角形△PFF的面積可用b表示，從而達(dá)到求b的目的.
　　（變式1）上題中若把條件“PF⊥PF”更改為“∠FPF=”又作何解？
　　解析：設(shè)|PF|=m，|PF|=n，則由橢圓定義得：m+n=2a，
　　又在△FPF中，由余弦定理得4c=m+n-2mncos=（m+n）-3mn=4a-3mn.
　　∴3mn=4a-4c=4b
　　∴S=mnsin=mn=b
　　∵S=9
　　∴b=3
　　細(xì)想一下，其實(shí)勾股定理只是余弦定理的特殊情況而已，利用上述方法即可設(shè)計(jì)一些與之有關(guān)的題型，如：
　　1.點(diǎn)P在橢圓C：+=1上，F(xiàn)，F(xiàn)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若∠FPF=，（1）求S;（2）求點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo).
　　2.已知橢圓C：+=1，F(xiàn)，F(xiàn)分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作x軸的垂線與橢圓交于兩點(diǎn)A，B，若△FAB為等邊三角形，求橢圓C的方程.
　　問(wèn)題二：已知橢圓+=1（a＞b＞0），設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)，F(xiàn)分別是左、右焦點(diǎn)，求點(diǎn)P在何處時(shí)，∠FQF最大.
　　解析：設(shè)|FQ|=r，|FQ|=r，∠FQF=θ
　　∴r+r=2a，又∵|FF|=2c
　　∴cosθ===-1≥-1=-1
　　當(dāng)且僅當(dāng)r=r時(shí)，cosθ取最小值-1.∴點(diǎn)P在橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，∠FQF最大.
　　此外，當(dāng)點(diǎn)P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，∠FQF=0，則當(dāng)點(diǎn)P從短軸端點(diǎn)沿著橢圓向長(zhǎng)軸端點(diǎn)處移動(dòng)時(shí)，∠FQF的變化情況又如何？
　　由上解得：∵r=2a-r，∴cosθ=-1=-1=-1，（a-c≤r≤a+c）
　　由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)可得：
　　r∈（a-c，a）時(shí)，θ隨r的增大而增大；
　　r∈（a，a+c）時(shí)，θ隨r的增大而減小.
　　r=a時(shí)，P在短軸端點(diǎn)處，此時(shí)θ最大；
　　r=a±c時(shí)，P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處，此時(shí)θ最小為0.
　　故產(chǎn)生如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P從短軸端點(diǎn)沿著橢圓向長(zhǎng)軸端點(diǎn)處移動(dòng)時(shí)∠FQF越來(lái)越小.
　　P在短軸端點(diǎn)處，此時(shí)θ最大；P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處，此時(shí)θ最小.
　　下面根據(jù)上述結(jié)論即可設(shè)計(jì)如下一些題型.（以下例題中的F，F(xiàn)分別為對(duì)應(yīng)橢圓的左右焦點(diǎn)；a＞b＞0）
　　1.若橢圓C的方程是+=1，點(diǎn)M在C上，求∠FMF的最大值.
　　解：由上述結(jié)論可得，當(dāng)點(diǎn)M在短軸端點(diǎn)處時(shí)，∠FMF最大.
　　此時(shí)cos∠OMF==
　　∴∠FMF=2∠OMF=60°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
　　2.已知橢圓C的方程+=1，若存在曲線C上一點(diǎn)P使得∠FPF=，求橢圓離心率e的范圍.
　　解析：此題可從最大角入手，P在短軸端點(diǎn)處∠FPF最大，此時(shí)sin∠OPF=≥sin=.
　　3.橢圓C中以線段FF為直徑作圓O，若圓O與橢圓C有交點(diǎn)，求橢圓Ｃ的離心率e的取值范圍.
　　解析：本題中看似和橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)形成的張角無(wú)關(guān)，可仔細(xì)思量后卻是柳暗花明又一村.可先設(shè)圓與橢圓交點(diǎn)為P，從條件中分析出點(diǎn)P不僅在圓O上，而且在橢圓上.由點(diǎn)P在圓上得∠FPF=，故本題可轉(zhuǎn)化為橢圓C上存在一點(diǎn)使∠FPF=，以下即≤e＜1.