利用橢圓的定義設計一類張角有關問題

　　摘 要： 橢圓的定義為：橢圓上任一點P到兩焦點的距離和為定值2a，即：|PF|+|PF|=2a，這個定義在求解一些與橢圓上點有關的命題時作用顯著.作者結合這一特點，著重討論與張角∠FPF有關的一些問題，展現了余弦定理與橢圓的定義的綜合應用.
　　關鍵詞： 橢圓 定義 張角 焦點 余弦定理
　　
　　高中橢圓教學中，我們常會討論與橢圓上點有關的問題，這時常會想到橢圓的定義.橢圓也是圖形，有時通過圖形的幾何性質我們能很快地將問題求解，橢圓的定義應用很多，本文著重討論某類張角的有關問題，并以其為基礎進行題型的設置.
　　問題一：已知F、F是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF⊥PF.若△PFF的面積為9，則b＝ .
　　解析：設|PF|=m，|PF|=n，則由橢圓定義及勾股定理得：m+n=2am+n=4c
　　∴2mn=（m+n）-（m+n）=4a-4c=4b（其中b=a-c）
　　∴S＝mn＝b＝9
　　∴b＝3
　　本題巧用橢圓定義及直角三角形的勾股定理得到m，n的關系式，然后通過配方恰好發現三角形△PFF的面積可用b表示，從而達到求b的目的.
　　（變式1）上題中若把條件“PF⊥PF”更改為“∠FPF=”又作何解？
　　解析：設|PF|=m，|PF|=n，則由橢圓定義得：m+n=2a，
　　又在△FPF中，由余弦定理得4c=m+n-2mncos=（m+n）-3mn=4a-3mn.
　　∴3mn=4a-4c=4b
　　∴S=mnsin=mn=b
　　∵S=9
　　∴b=3
　　細想一下，其實勾股定理只是余弦定理的特殊情況而已，利用上述方法即可設計一些與之有關的題型，如：
　　1.點P在橢圓C：+=1上，F，F是橢圓C的兩個焦點，若∠FPF=，（1）求S;（2）求點Ｐ的坐標.
　　2.已知橢圓C：+=1，F，F分別是橢圓C的左，右焦點，過橢圓右焦點F作x軸的垂線與橢圓交于兩點A，B，若△FAB為等邊三角形，求橢圓C的方程.
　　問題二：已知橢圓+=1（a＞b＞0），設Q是橢圓上任意一點，F，F分別是左、右焦點，求點P在何處時，∠FQF最大.
　　解析：設|FQ|=r，|FQ|=r，∠FQF=θ
　　∴r+r=2a，又∵|FF|=2c
　　∴cosθ===-1≥-1=-1
　　當且僅當r=r時，cosθ取最小值-1.∴點P在橢圓的短軸端點時，∠FQF最大.
　　此外，當點P在長軸端點時，∠FQF=0，則當點P從短軸端點沿著橢圓向長軸端點處移動時，∠FQF的變化情況又如何？
　　由上解得：∵r=2a-r，∴cosθ=-1=-1=-1，（a-c≤r≤a+c）
　　由復合函數性質可得：
　　r∈（a-c，a）時，θ隨r的增大而增大；
　　r∈（a，a+c）時，θ隨r的增大而減小.
　　r=a時，P在短軸端點處，此時θ最大；
　　r=a±c時，P在長軸端點處，此時θ最小為0.
　　故產生如下結論：當點P從短軸端點沿著橢圓向長軸端點處移動時∠FQF越來越小.
　　P在短軸端點處，此時θ最大；P在長軸端點處，此時θ最小.
　　下面根據上述結論即可設計如下一些題型.（以下例題中的F，F分別為對應橢圓的左右焦點；a＞b＞0）
　　1.若橢圓C的方程是+=1，點M在C上，求∠FMF的最大值.
　　解：由上述結論可得，當點M在短軸端點處時，∠FMF最大.
　　此時cos∠OMF==
　　∴∠FMF=2∠OMF=60°（O為坐標原點）
　　2.已知橢圓C的方程+=1，若存在曲線C上一點P使得∠FPF=，求橢圓離心率e的范圍.
　　解析：此題可從最大角入手，P在短軸端點處∠FPF最大，此時sin∠OPF=≥sin=.
　　3.橢圓C中以線段FF為直徑作圓O，若圓O與橢圓C有交點，求橢圓Ｃ的離心率e的取值范圍.
　　解析：本題中看似和橢圓上一點與兩焦點形成的張角無關，可仔細思量后卻是柳暗花明又一村.可先設圓與橢圓交點為P，從條件中分析出點P不僅在圓O上，而且在橢圓上.由點P在圓上得∠FPF=，故本題可轉化為橢圓C上存在一點使∠FPF=，以下即≤e＜1.