初中二次函數三角形面積問題透析

摘 要：二次函數中三角形面積問題是代數與幾何有機結合的一個考點，是函數的綜合應用能力的提升。二次函數這部分內容可滲透的數學思想多，解題方法多，老師在講述這些題目時一定要注意循序漸進把握好梯度。在探究這些問題時，首先要讓學生加深對函數知識的回顧，同時要注重數學思想的滲透，培養學生用數學的思想去思考問題、解決問題的習慣，發展學生的創新思維，使其形成自主學習、自主探索的意識。

關鍵詞：初中數學； 二次函數； 三角形面積問題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2012）10-035-001

一、拋磚引玉

建模：已知直角坐標中點B（3，0），C（0，3）D（1，4），求出順次連結這三點的三角形的面積。

引導問題：在平面直角坐標系中畫出BCD的圖形。探索根據已知三點的坐標如何來求出BCD的面積。在求BCD時遇到困難時能否用數學的“割補法”幫助你解決這個問題。請你提出你的觀點并大膽地嘗試。

教學感悟：本次建模是為下面引出問題作下伏筆，我們盡可能讓學生提出不同的分割思想，讓學生提出不同的見解，說出不同的解決問題方法。

二、構建例題

例題：如圖（7）已知拋物線圖象過A（-1，0），C（0，3）且對稱軸為直線x=1。

（1）求拋物線的解析式，圖象與x軸的另一個交點及頂點D的坐標；（2）求DCB的面積。

引導問題：求二次函數的解析式有哪三種方法？本題采用哪一種方法解題比較簡單？求DCB面積時我們需要做些什么準備工作？B、C、D坐標求出后三角形面積如何求？它與上述的模型有類同之處嗎？如有類同，哪些分割法比較適宜本題？請你試試并求出答案。

設計意圖：通過本題學習使學生進一步掌握二次函數解析式的三種不同的表達式，讓學生體會到不同的選擇帶來不同的簡便效果，進一步讓學生掌握平面直角坐標中求斜三角形面積的不同分割方法。

變式題1：如圖（8），已知拋物線與坐標軸交于C、B兩點，D是直線BC上方的二次函數的一點動點，（點D與B、C不重合），點D運動到什么位置時DBC的面積最大，求出此時點D坐標和三角形面積的最大值。

引導問題：（1）從例題到變式題，兩題都是求三角形面積，兩者是否存在差別。（2）變式題中已知二次函數解析式能求出B、C的坐標并能求出BC的長，當點D與到直線BC距離最大時DBC面積最大？你會不會求出D與到BC最大距離，如不能，你用什么方法來解決你的問題？二次函數最值問題對你解決問題是否有幫助呢？如有幫助，那么如何建立DBC面積關于點D的坐標的函數關系式？建模中的三角形分割思想對你解決本題有什么啟發？

變式題2：已知拋物線y=-x2+2x+3與直線y=-x+1交于C、B兩點，D是直線上方BC的二次函數的一點動點，（點D與B、C不重合），點D運動到什么位置時三角形DBC的面積最大，求出此時點D坐標和三角形面積的最大值。

引導問題：變式題（2）與變式題（1）有什么區別與聯系？它們有類同點嗎？如有類同則上題幾種解題方法能適應本題嗎？在這幾種方法中哪種方法比較簡便，能不能用上面感悟的方法來解決本題？請你試試。

略解：過D作DE//y軸交BC于點E，∵DE//y軸，∴xp=xE，點D的坐標（x，-x2+2x+3），點E坐標（x，-x+1），

變式題3：已知拋物線y=-x2+2x+3與y=-x+1直線交于點C，與x軸于點B，D是直線BC上方拋物線上一個動點，（點D與交點不重合）點D運動到什么位置時△DBC的面積最大，求出此時點D坐標和三角形面積的最大值。

引導問題：變式題（3）與變式題（2）有區別和聯系嗎？這兩題的主要不同之處在哪里？能不能用相同的方法求解。

透析：隨點D的運動位置不同，△DBC將出現以下三種不同的圖形：

我們發現S△DBC=■DFxB-xC，當直線與二次函數的解析式確定，B、C的坐標也就確定，S△DBC面積與DF的長度有關，當DF有最大值時，S△PBC的面積也存在最大值。

略解：過D作DF//y軸，交直線BC于點F，∵DF//y軸，∴xD=xF，點D的坐標（x，-x+1），點F坐標（x，-x+1），DF=yD-yE=（-x2+2x+3）-（-x+1）=-x2+3x+2。

三、教學反思

從構造平面直角坐標系中斜三角形面積的模型，引入多種不同的分割法，利用模型構造二次函數為背景的三角形面積問題，這里充分滲透了數學的“建模”思想。由例題已知三點定點面積問題演變為二次函數為載體的三角形面積最大值問題。這里需要構造以D坐標表示三角形BDC面積的函數，并利用二次函數的最值求出三角形的最大值，這里充分讓學生體會了“函數”思想。