數(shù)形結(jié)合話三角

摘 要：新的《課程標(biāo)準(zhǔn)》將平面幾何改為“圖形與幾何”，拓寬了幾何的內(nèi)容，用多種方式來處理幾何，強(qiáng)調(diào)空間推理，刪除煩瑣的幾何證明的技巧，突出對(duì)證明的必要性、證明的意義的理解。注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等過程，倡導(dǎo)自主探索、合作交流與實(shí)踐創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，以真正實(shí)現(xiàn)圖形與幾何的教育價(jià)值。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)； 三角函數(shù)； 數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315（2012）10-057-002

在新的《課程標(biāo)準(zhǔn)》理念下，有關(guān)相似三角形、圓的部分知識(shí)已移作高中選修內(nèi)容，而在初中階段，主要以直線型的全等、圓中的有關(guān)位置關(guān)系的判定及線段與角的計(jì)算，作為中考試題的主要知識(shí)點(diǎn)。

在淡化“歐式”公理化體系的邏輯證明，強(qiáng)調(diào)代數(shù)與幾何雙重并舉培養(yǎng)邏輯推理能力的背景之下，“銳角三角函數(shù)”作為由相似三角形推導(dǎo)而得的“衍生品”，成為\"數(shù)形結(jié)合\"思想的最佳載體，在中考試題中展示著它的優(yōu)美風(fēng)采。本文從2012年中考試題中，選取幾類問題作一分析：

一、用三角函數(shù)證邊（角）之等、和、差關(guān)系

例1.（2012年重慶24）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過M作ME⊥CD于點(diǎn)E，∠1=∠2。

（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證AM=DF+ME。

解析：（1）在菱形ABCD中由∠1=∠ACD=∠2得CM=DM，

又ME⊥CD得 BC=CD=2CE=2；

（2）記菱形ABCD的邊長為a，由（1）可得DF=■a，ME=■DE=■a，從而DF+ME=■a，又在Rt△ADM中，AM=■=■a，故AM=DF+ME。

點(diǎn)評(píng)：在平面幾何的證明中，最使學(xué)生感到困惑的是如何添作輔助線，本題欲證線段AM之長等于另兩線段DF與ME之和，通常采用“截長補(bǔ)短”法，因題中條件有“F是邊BC中點(diǎn)”，故通過“中點(diǎn)倍長”法，即可通過延長DF交AB的延長線于點(diǎn)G證明之，此法具有一定的解題技巧，但如果利用“銳角的三角函數(shù)”，用參數(shù)表示圖形中的各條線段，從而確定線段之間的關(guān)系，準(zhǔn)確簡潔。

二、用三角函數(shù)求邊之比值

例2.（2012年南京6）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A’、D’處，且A’D’經(jīng)過B，EF為折痕，當(dāng)D’F⊥CD時(shí)，■的值為（ ）

解析：如圖，設(shè)CF=x，DF=y

則在Rt△AGF中，CG=■=2x，GF=CF=tan60°=■x，在△BD'G中，BC=DC=x+y，BG=y-x，

因∠BD'G=120°，∠BGD'=∠CGF=30°，故D'G=■（y-x），又D'F=DF=y，

故■（y-x）+■x=y，解之得■=■，故選A。

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)平面圖形的折疊問題，首先尋找折疊前后的不變量，由此確定等量關(guān)系，其主要數(shù)學(xué)思想是方程思想。本題利用了下列結(jié)論：（1）含30°角的直角三角形中，三邊之比為1：■：2，（2）在頂角為120°的等腰三角形中，三邊之比為1：1：■。

三、用三角函數(shù)求圖形面積

例3.（2012年德陽11）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又AP BE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果BD=■AB，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為（）

解析：連接EP，可證E、F、P三點(diǎn)共線，

由條件設(shè)AB=EP=4a，BD=EF=a，則PF=3a，過點(diǎn)A、P分別作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足M、N記∠ABC=∠PFC=？琢，則AM=4asin？琢，PN=3asin？琢，從而△PBC的面積與△ABC面積之比為■=■，故選D。

點(diǎn)評(píng)：在初中階段，有關(guān)三角形的面積問題，主要有兩類，其一是相似三角形的面積比等于相似比的平方，其二是同底（或等高）的三角形面積比等于高（或底）之比。本題所求問題是同底的兩三角形面積之比，關(guān)鍵是計(jì)算它們的高之比，而用什么數(shù)量表示其高呢，這是一個(gè)難點(diǎn)。本題證得E、F、P三點(diǎn)共線后，發(fā)現(xiàn)AB與FP之間不僅存在著位置關(guān)系，而且存在著數(shù)量關(guān)系，從而選擇三角函數(shù)表示。

四、用三角函數(shù)求點(diǎn)之坐標(biāo)

例4.（2012蘇州10）已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上。若正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，則點(diǎn)A3到x軸的距離是（ ）解析：由條件可得D1E1=C1D1=sin30°=■，B2C2=■=■，依次類推可得A3B3=■，故點(diǎn)A3到x軸的距離為A3B3sin30°+B3E4=■，故選D。

點(diǎn)評(píng)：圖形與坐標(biāo)是新課程標(biāo)準(zhǔn)中“圖形與幾何”的三大模塊之一，它的實(shí)質(zhì)將幾何圖形放置于平面直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示圖形中的各個(gè)點(diǎn)，再去研究圖形的相關(guān)性質(zhì)，它是高中數(shù)學(xué)中解析幾何的基礎(chǔ)。本題等價(jià)于求點(diǎn)的坐標(biāo)，其方法是“求坐標(biāo)，作垂線”，再利用直角三角形的邊角關(guān)系，即三角函數(shù)計(jì)算長度。

綜上所述，“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念。數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，形是空間形式的體現(xiàn)，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的，我們?cè)谔接憯?shù)量關(guān)系時(shí)常常借助于圖形直觀地去研究；而在研究圖形時(shí)，又常借助于圖形間隱含的數(shù)量關(guān)系去求解。即將數(shù)與形靈活地轉(zhuǎn)換，運(yùn)用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問題的解答。而初中數(shù)學(xué)中的“三角函數(shù)”正是在Rt△ABC中定義銳角的三角函數(shù)，再結(jié)合勾股定理，解決三角形中的相關(guān)問題，因此，它是“數(shù)形結(jié)合”思想的完美體現(xiàn)，但由于研究銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ)是相似三角形的一些結(jié)論，所以，學(xué)生在解決此類問題時(shí)，習(xí)慣于利用相似三角形的知識(shí)而忽視了用三角函數(shù)求解，從而使解題過程顯得羅嗦臃腫，故筆者謹(jǐn)以上述例題奉獻(xiàn)于讀者，期待著對(duì)平面幾何問題有一個(gè)迅速、準(zhǔn)確、簡潔的解法。