建模思想在高中數(shù)學(xué)課堂的體現(xiàn)與應(yīng)用

摘 要：數(shù)學(xué)模型是根據(jù)對(duì)研究對(duì)象所觀察到的現(xiàn)象及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成的一套反映其內(nèi)部因素?cái)?shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式、邏輯準(zhǔn)則和具體算法，用以描述和研究客觀現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想，不僅增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，而且也鍛煉和發(fā)展了學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力。本文作者從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，結(jié)合具體案例對(duì)建模思想在高中數(shù)學(xué)課堂的體現(xiàn)與應(yīng)用進(jìn)行了分析與闡述。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)思維 創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào)：G6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-9795（2012）10（c）-0083-01

新課程理念下的高中數(shù)學(xué)課程更加注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)建模并不是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的直接翻板，它的建立除了需要學(xué)習(xí)者對(duì)于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致入微的觀察和分析外，還需要靈活的運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程才是數(shù)學(xué)建模。無(wú)庸置疑，數(shù)學(xué)建模對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和邏輯思維能力均起到了積極的促進(jìn)作用。

1 高中數(shù)學(xué)建模起因及特點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用與建模活動(dòng)，始于20世紀(jì)70年代，當(dāng)時(shí)美國(guó)哈佛大學(xué)一批具有遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)的教授學(xué)生，他們反對(duì)將數(shù)學(xué)教學(xué)變成一種無(wú)意義的單純的數(shù)學(xué)習(xí)題演算，反對(duì)把數(shù)學(xué)定位在“作題解題”的狹小圈子內(nèi)，轉(zhuǎn)而開(kāi)始尋找數(shù)學(xué)的本意，尋找數(shù)學(xué)失落的價(jià)值，于是一項(xiàng)以數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用建模為內(nèi)容的創(chuàng)造性活動(dòng)開(kāi)始在哈佛校園內(nèi)開(kāi)展，繼之影響到歐美各國(guó)，成為國(guó)際數(shù)學(xué)教學(xué)改革一個(gè)突破口，并成了一股強(qiáng)勁的世界性的浪潮。高中數(shù)學(xué)建模具有以下特點(diǎn)：（1）問(wèn)題的來(lái)源更生活化，更貼近實(shí)際。（2）條件和結(jié)論更模糊。（3）可用信息和最終結(jié)論更有待學(xué)生自己的挖掘。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模的突出特點(diǎn)是它的實(shí)踐性。

2 高中數(shù)學(xué)建模的一般步驟

包括六個(gè)環(huán)節(jié)：建模準(zhǔn)備，作假設(shè)，建立模型，模型求解，討論和驗(yàn)證，模型應(yīng)用。模型準(zhǔn)備：了解實(shí)際問(wèn)題的背景、建模的目的，收集數(shù)據(jù)和相關(guān)信息，了解決定事物性質(zhì)和發(fā)展的各種量及其關(guān)系，找尋其變化的客觀規(guī)律。

（1）模型準(zhǔn)備：了解實(shí)際問(wèn)題的背景、建模的目的，收集數(shù)據(jù)和相關(guān)信息，了解決定事物性質(zhì)和發(fā)展的各種量及其關(guān)系，找尋其變化的客觀規(guī)律。（2）作假設(shè)：對(duì)各種量及其關(guān)系進(jìn)行分析，抓住主要矛盾，忽略次要因素，對(duì)問(wèn)題作出合理的假設(shè)。（3）建立模型：根據(jù)問(wèn)題的要求和假設(shè)，應(yīng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法把問(wèn)題化為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象即數(shù)學(xué)模型。（4）模型求解：對(duì)歸結(jié)的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻Ｓ袝r(shí)可以求出解的表達(dá)式，有時(shí)只能求出數(shù)值解。通常還把解的結(jié)果列表或畫(huà)出圖形。（5）討論和驗(yàn)證：根據(jù)模型求解的結(jié)果，討論得到的解是否和情況相符。（6）模型應(yīng)用：在模型的結(jié)果符合實(shí)際的前提下，可以利用所的模型對(duì)實(shí)際問(wèn)題作預(yù)測(cè)、尋優(yōu)、分析、解釋、決策等。

3 高中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用舉例

模型在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，下面筆者談一談函數(shù)模型及其應(yīng)用。函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)描述.那么，面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)它呢？事實(shí)上，函數(shù)模型共有8種類型：

（1）一次函數(shù)模型：f（x）=+b（k、b為常數(shù)，k≠0）。

（2）反比例函數(shù)模型：f（x）=+b（k、b為常數(shù)，k≠0）。

（3）二次函數(shù)模型：f（x）=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），二次函數(shù)模型是高中階段應(yīng)用最為廣泛的模型，在高考的應(yīng)用題考查中最為常見(jiàn)的。

（4）指數(shù)型函數(shù)模型：f（x）=kax+b（k、a、b為常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1）。

（5）對(duì)數(shù)型函數(shù)模型：f（x）=mlogax+n（m、n、a為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1）。

（6）冪函數(shù)型模型：f（x）=axn+b（a、b、n為常數(shù)，a≠0，n≠0）。

（7）“勾”函數(shù)模型：f（x）=x+（k為常數(shù)，k>0），這種函數(shù)模型應(yīng)用十分廣泛，因其圖象是一個(gè)“勾號(hào)”，故我們把它稱之為“勾”函數(shù)模型。

（8）分段函數(shù)模型：這個(gè)模型實(shí)則是以上兩種或多種模型的綜合，因此，應(yīng)用也十分廣泛。

例題1：如圖1，木桶1的水按一定規(guī)律流入木桶2中，已知開(kāi)始時(shí)木桶1中有a升水，木桶2是空的，tmin后木桶1中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1=ae-mt（其中m是常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。假設(shè)在經(jīng)過(guò)5min時(shí)，木桶1和木桶2的水恰好相等，求：（如圖1）。

（1）木桶2中的水y2與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。

（2）經(jīng)過(guò)多少min，木桶1中的水是升？

解析：（1）因?yàn)槟就?中的水是從木桶1中流出的，而木桶1開(kāi)始的水是a，又滿足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.

（2）因?yàn)閠=5時(shí)，y1=y2，所以ae-5m=a-ae-5m。

解得2e-5m=1m=ln2.所以y1=ae-t

當(dāng)y1=時(shí)，有=ae-tt=15（分鐘）。

所以經(jīng)過(guò)15min木桶1的水是。

已知函數(shù)模型求參數(shù)值，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解。

4 應(yīng)用建模思想解題方法總結(jié)

首先，學(xué)生首先要理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，而后再建立數(shù)學(xué)模型，確定解決方法是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題通常是以下幾種類型：可行性問(wèn)題、最優(yōu)解問(wèn)題（即最大值或最小值問(wèn)題，如費(fèi)用最小，效益最大等問(wèn)題）、決策問(wèn)題。解題時(shí)要靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用題中的函數(shù)由于它具有實(shí)際意義，因此，函數(shù)中的變量除要求使函數(shù)本身有意義外，還要符合其實(shí)際意義。

總之，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)教師應(yīng)以現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)字問(wèn)題為載體，幫助學(xué)生建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)分析和歸納能力。

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