以一次函數為例探討初中數學建模

【摘要】本文結合初中數學教學實踐，以一次函數中數學模型的應用為例，探討了不同層次的初中數學建模過程，指出了不同模型的優缺點，并且給出了教學上的建議。

【關鍵詞】初中數學 數學建模 驗證評價

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2012）20-0147-01

《數學課程標準》指出：數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象，數學課程應體現“問題情境—建立數學模型—理解、應用與拓展”。以下僅以一次函數模型的應用為例，探討幾種不同層次的利用一次函數數學模型解題的過程。

一 直接給出模型

例1：已知彈簧的長度y在一定的限度內是所掛物質重量x的一次函數。現已測得所掛重物重量為4千克時，彈簧的長度為7.2厘米，所掛重物重量為5千克重物時彈簧的長度為7.5厘米，求所掛重物重量為6千克時彈簧的總長度。

解析：既然題干中已經明確給出了y與x之間具備的是一次函數關系，那么，實際上本題目中數學建模過程已經被省略掉了，學生沒有了自己分析、聯想獲得模型的體驗。可以設數學模型為y=kx+b，將已知的兩個條件分別代入到這個模型關系式中可得：7.2=4x+b7.5=5x+b，求解二元一次方程組得解k=0.3b=6，從而得到模型y=0.3x+6，將x=6代入該模型中，得到y=7.8。從而得到該問題的最終結果，即當所掛物體重量為6千克時彈簧長度為7.8厘米。

這種直接給出數學模型的方法在初學一次函數，理解其待定系數法時不失為一種較為合適的數學題目設計，但是從數學應用的角度來看，對于學生從實際問題中抽象出數學問題能力的鍛煉則是不利的，從這個角度講，這種數學模型的應用應屬于較低層次的應用。

二 猜測建立模型

例2：爸爸穿42碼的鞋子，長度為26厘米；媽媽穿39碼的鞋子長24.5厘米，小明穿41碼的鞋子，長度為多少厘米？

解析：本例與例1相比只是缺少了二者之間存在一次函數關系的提示。許多人順理成章地將其直接歸入了一次函數模型中，由于事先沒有給出尺碼與長度之間具有一次函數關系，只能通過猜測建立關系并求得問題的答案，對于學生的能力也有了較高的要求和鍛煉。實際上，由于該題目在設計時少給了一個條件，使本例中缺少檢驗評價過程，而這種對于模型的檢驗評價在數學建模過程中是極其重要的，因為這種檢驗能以事實驗證模型是否合適。簡單地講，對于這個題目來說，如果只知道兩對已知的函數數值，不能否定尺碼和長度之間是否存在著其他函數關系（譬如二次函數關系），因此，在該題目的題設中應該再給出一個條件，如可以再給出“妹妹穿36碼的鞋，長度為23厘米”，以便于獲得一次函數模型后的驗證。無疑，例2中一次函數模型的應用較例1高了一個層次。

三 實際推導模型

例題3：星期天，張老師提著籃子（籃子重0.5斤）去集市買10斤雞蛋，當張老師往籃子里拾稱好的雞蛋時，發覺比過去買10斤雞蛋的個數少很多，于是她將雞蛋裝進籃子再讓攤主一起稱，共稱得10.55斤，她即刻要求攤主退1斤雞蛋的錢，張老師是怎樣知道攤主少稱了大約一斤雞蛋呢（精確到1斤）？請你將分析過程寫出來，由此你受到什么啟發？

解析：把雞蛋的實際重量看做是未知數x，而把顯示的重量看做是y，于是如果沒作弊，應該是y=x，但是老板作弊了，他又是如何作弊的呢？他無非是想讓顯示出的值y大于實際的重量x。如果老板在秤盤底下加了吸鐵石，就相當于在x后面加上一個常數a，使得y=x+a，這里a表示一個固定的重量。這樣，當顧客買5斤重的東西，老板就可以只給顧客4斤8兩，那二兩就是額外加的吸鐵石的重量了。但是這里面存在著一個問題，就是說如果顧客買的東西很多，很重，缺少二兩不算什么，也很不容易覺察到。但是如果顧客只是買4兩東西，那么缺少2兩就很容易被發覺了。聰明的老板預先不知道張老師會買多少雞蛋，所以不會在秤盤底下加吸鐵石，也就是說不會是y=x+a。那么又如何讓y大于x呢？老板可以調整他的秤，使得有下面的等式成立：y=kx。其中k是大于1的一個數。這樣，對于每一個x值，y值都比它大。也就是總有顯示值大于實際值。根據這道題目的已知得到以下兩個等式：

10=kx （1）

10.55=k（x+0.5） （2）

由（2）式可以得到：

10.55=kx+0.5k （3）

把（1）式代入（3）式，可以求得k=1.1，再把k=1.1代入（1）式，可以求得x=10/1.1=9.09。這樣就求得了張老師所買的雞蛋的實際重量是9.09斤，老板少給了她接近一斤的雞蛋錢。由于已經求解出了k值，也即求出了x與y之間的正比例函數關系，所以從模型應用的角度講，本例還可以進一步提出問題，如果張老師買的是五斤雞蛋，那么貪心的商家會少稱給張老師多少雞蛋呢？

例3中所引用的題目是較早出現的一個老題目，但縱觀該題目的題設計求解過程，處處“原汁原味”，這種“原汁原味”的題目，看似需要用數學知識去解決，卻又留給了學生一定的思考空間，從模型猜想、模型建立直至模型求解和解釋應用，都與生活實踐密切聯系，都可以用發生在學生身邊的生活實際相解釋，更重要的是該模型設計本身提供給了學生思考問題的時間和空間，如果教師對于該模型善加利用，可以充分發揮模型解決過程對于學生諸多能力的培養。是真正的“全魚”而非“中段”。例題3與前兩個例題相比，無疑是最高層次的數學模型應用。

以上三例一次函數模型的應用類題目，均試圖讓學生感受到數學就發生在我們身邊，數學是有用的，其應用層次呈遞進式提高。每一位數學教師都應該善于挖掘身邊的生活實例，將它們作為有效的課程資源，讓學生在做數學、體驗數學的實踐活動中自主地構建數學模型，感受數學的魅力，提高學生學習數學的興趣并增強數學學習的自信心。

〔責任編輯：高照〕