空投救災物資的數學模型及其最優方案

【摘 要】本文探討了使用降落傘向災區空投救災物資的最優方案問題，并得出了相應的最優化數學模型。

【關鍵詞】救援物資 阻力系數 價格

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2012）24-0075-01

一 問題背景

某部門要選購一些降落傘，向災區空投2000千克的救災物資。降落傘的價格由三部分組成，其中傘面的費用由半徑r決定，繩索費用為4元/米，每個傘有16根同規格的繩索；降落傘的固定費用為200元。已知空投高度為500米，要求降落傘落地時的速度不能超過20米/秒，救災物資位于球心正下方球面處。并且降落傘在降落過程中受到空氣的阻力，空氣阻力與降落速度和傘面積的乘積成正比（比例系數k=2.9）。

要解決的問題：一是將總的物資進行怎樣的分配，使得物品落地不會破損；二是選擇怎樣的購買降落傘的方案，從而使得這次空投的總費用最少。

二 模型的假設

飛機水平進行空投，物資一離開飛機，降落傘就將傘面打開；在投放時只受重力和空氣阻力的影響；每根繩索的承受力為無窮大，并且質量忽略不計；投放的物資可以合理地組合，并且每個降落傘下的物資看成質點；速度的正方向豎直向下。

符號說明：k：阻力系數；f：阻力；a：降落傘的下降加速度；g：重力加速度；v0：開始降落的速度；v：速度；r：傘的半徑；L：繩索的長度；x：降落傘下降的高度；t：物體下降時間；c：降落傘的費用；cr：對應半徑降落傘傘面的費用；x1，x2，x3，x4，x5，：分別所需半徑為2，2.5，3，3.5，4的個數；z：使用降落傘的總費用。

三 問題分析

首先明確了投放的高度是500米，落地的最大速度是20米/秒。這是投放物資是給定的條件。求出時間、落地位移、速度、加速度與重物的關系，從而求出每一種規格的最大承載量。然后，在每一種規格下按照小于等于最大承受重量進行物資的分配，從而保證物資在投放時不因落地速度大于20米/秒，而使物資受損。

明確空投費用是降落傘的總費用，要使得費用最少，就得選擇購買方案時所花費用最少，為此將用到優化方法進行求解。首先，算出每種規格降落傘繩索的長度，問題給定重物位于球心正下方球面處，由該條件可處理繩索問題。然后算出每一種規格的降落傘的總費用，包括三部分：繩索，傘面費用，固定費用。最后在求出每一種規格降落傘的費用的情況下，運用《運籌學》的知識列出并求解該優化問題。

四 數學模型的建立與求解

因為v′′<0，又 = v′（m）=0，所以v（m）是關于m的單調增函數，同理可知，v是關于m的單調增函數。因此，當v最大時，降落傘的最大載重量m也最大。

由球的表面積公式s=4πr2，結合問題中降落傘的落地速度不能超過20米/秒，以此確定不同半徑傘的最大載重量：

降落傘的費用是由三部分組成——繩索費用、傘面費用、固定費用，由題目給的信息可知：L= ，故繩索部分的費用為16×4× ；傘面費用已給定；固定費用相同，每種規格的都是200元；綜合可得出不同規格降落傘的費用計算表達式為：c=16×4×r+cr+200。

為簡化計算求出不同半徑降落傘費用，可以得到表3：

綜上可列出下列線性表達式：

minZ=446x1+596x2+821.5x3+1176.8x4+1562x5+

用lingo可解得總費用z的最小值是4924元；此時選用半徑為2米的降落傘10個，2.5米的兩個，3米的4個。代值返回計算得出每個降落傘滿載物質的總重量為2005.3千克>2000千克，因此，該選購方案可行。

參考文獻

[1]吳振奎.運籌學[M].北京：中國人民大學出版社，2006

[2]袁新生等. Lingo在數學建模中的應用[M].北京：科學出版社，2007

〔責任編輯：陳晨〕