淺談初等數論課程教學的改進

摘 要：初等數論是大學本科數學的專業基礎課，但長期得不到足夠的重視。究其原因，除其內容相對簡單不受師生重視外，也有課程設置不科學和課堂教學方式方法陳舊等因素。本文旨在改進教學方法，闡述課堂教學中的經驗心得。歸根結底，就是在備課和課堂教學的設計上下工夫，取得理想的教學質量。

關鍵詞：初等數論；教學方法；改進

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-4107（2012）09-0021-02

初等數論是數學專業本科階段代數系列課程中的一門，與高等代數和近世代數等已得到普遍重視的情況相比，初等數論課程的重要性尚未得到充分的認識，主要體現在課程設置不科學、教學方法陳舊等方面，由此導致教學效果差，教學質量無法提高等諸多問題。那么，如何改進初等數論課程的教學、改善教學效果，從而提高教學質量？本文僅就教學實踐從兩個方面談談這一問題。

一、在思想上給予初等數論以足夠的重視

初等數論是一門古老的學科，主要研究數的性質和方程的整數解，是中等數學中數的理論的繼續和提高，是中學數學與大學數學的最好銜接。盡管其使用的方法是初等的，但應該看到其很多內容及思想為高等代數和近世代數做了很好的鋪墊，提供了抽象理論的具體實例。初等數論為后續的代數提供了一個樣板，很多理論都要推廣到更一般的情形上去。在整數集這個熟悉的領域中體會好代數的思想和方法，為將來學習和研究的提升做準備。更為重要的是目前RSA公鑰體制和離散對數體制均來自初等數論，并且正在不斷采用數論更為高深的理論成果[1]。這反映出初等數論在實踐應用上的價值。既然初等數論課程如此重要，那么一些高校數學專業為什么會不重視這門課程？最根本的原因在于這門課程內容表面上相對淺顯，教學單位沒有從科學的角度來審視初等數論在大學數學教學中的真實作用，低估了它存在的價值，他們認為大學數學應當講授更為抽象的問題，初等數論的存在比較尷尬，因此，在課程設置上不夠突出這門課程的地位。不但沒有將之安排在大一的第一學期講授，而且有的將其由專業必修課改成大三講授的選修課。這種錯誤的課程設置，抹殺了初等數論這門課銜接中學與大學數學教學的橋梁作用。此外，大三學生面對相對淺顯的數論課程，也確實提不起興趣，進而影響到教師對這門課程的備課、授課的重視程度。這種情況馮克勤先生曾經撰文提到過，并且闡述了大一新生開設初等數論課程的理由和積極意義[2]。遺憾的是十幾年過去了，仍沒有得到廣泛的重視。現在，我們采納馮先生的建議尚不算晚，應當在具體的教學計劃上做出切實的調整，以便更好地發揮初等數論在大學數學學習與教學中的作用，進而使之在應用領域能為人熟練地應用，實現這門課程的價值。

教師在教學實踐上的重視程度和履行情況也至關重要。教師不但要積極講授這門課程，而且還要下一番心思認真準備，設計好課堂教學環節，怎樣開始，怎樣展開，結尾應強調什么，知識點和相關學科知識的聯系等，這些環節都極為重要。教師投入熱情，自然就會帶動學生的熱情，師生互動達成，取得良好的教學效果便水到渠成。備課充分與否，教師和學生都能體會得到。

二、改進傳統的教學方法

傳統的教學方法主要集中于教師課堂講授演算、隨時提問的方式。這種方式立足于教材本身，緊緊圍繞教學大綱，中規中矩，對數學專業課程的講授而言有它的優勢。對初等數論來說，情況就不同了。上文所言，不科學的課程設置，實際上是將初等數論這門課程置于比較尷尬的地位。其內容簡單，又在大三開設，甚至屬于選修課程。帶來的結果是聽課的人少，學生和老師的情緒互相影響。學生認為沒什么可聽的，過于簡單；教師認為學生一看都懂，講起來也沒什么意思，雙方的情緒都不高。這便要求我們必須立足于這門課程在整個大學數學教學中的實際地位，采取相應的更為靈活的教學方式來改變這種狀況。我們通過具體的教學實踐，總結了以下一些方法。

（一）增加與基本定義及定理相關內容的介紹

在課堂教學中，對基本定義及定理的背景、來源、研究動機、目的與其應用的講解是必要的。要讓學生明白為什么要講這些內容，它們如何得來，有何應用。如講質數問題，就要提及整數。整數是最先接觸的數集，都以為整數是最基本的數，但中國古代數學家把質數叫做“數根”，意思是數的根本。因為任何整數或者是質數，或者是幾個質數的積。古希臘時代的偉大數學家歐幾里得在《幾何原本》中就已經給出質數的若干性質。歐幾里得給出算術基本定理在普通整數中的證明，后來高斯在復整數集{a+bi|a，b均為整數}中得出證明。高斯曾經在《算術探究》提過：“區分質數和合數，并且將合數分解成質因子，是算術中最重要又最有意義的問題。”高斯明確指出了質數的重要性。今天，質數理論不僅在理論上，而且在應用上日益重要。基于大數分解方案的公開密鑰體制在信息安全領域的應用就是一個最好的證明。把以上的相關內容向學生做一個簡略的介紹，一方面，豐富了質數問題的知識含量，另一方面強調了質數問題的重要性。不但從數學史的角度深化了學生對質數的理解，而且調動了學生學習的積極性。數學史方面的適度滲透，我們在教學實踐中經常會用到，效果良好。

（二）盤點每堂課的主要內容，要求學生多練習

課堂上可能學了很多東西，學生能消化吸收多少？一個學期下來學生又記住了什么？我們自己要經常問自己，更要經常問學生。換言之，即要求學生每堂課過后要關注教師的總結，也要自己去總結。課堂上會有一些具體細致的計算與證明，這對領會這門學科的基本方法是必要的，但不能過于執著細的方面，以至于只記得怎樣做，而忘了要做什么和為什么要做。要注重講系統的方法，并展示這些方法可以解決什么問題，同時說明為解決另一些數學問題還需要進一步發展數學?？梢栽诿看握n的結尾盤點當天的主要內容以加深印象。但一定要要求學生課下動手做，要多練習，使其具備一定的基本功。學期末，教師要向學生盤點這門課程的重點內容。初等數論都能讓我們想到什么，哪些是這門課程的精髓。初等數論的重點是算數基本定理、中國剩余定理、模n的剩余類、歐拉定理（費馬定理）、高斯二次互反律等。

（三）營造良好的課堂氛圍

相對而言，初等數論這門課內容簡單，易于達成師生間的良性溝通，營造出活躍的課堂氛圍。但不同授課內容，學生的反應會有所不同。有時學生會對某個問題較為敏感，思維也比較活躍，能夠積極思維并參與討論，帶動其他同學，帶動整個課堂氣氛，這樣的教學效果肯定是好的。有時學生會對接受的內容產生諸多疑問，因此，表面上課堂并不活躍，大家都在默默地、積極地思考，沉浸在一種數學的氛圍之中。這種課堂氛圍同樣能達到理想的授課效果。

（四）調動學生參與到應用數論解決簡單的實踐活動中去

初等數論課是一門可以充分展示學生個性的課。作業中會發現對同一個題目，他們可能有很多種做法，應該對他們給予鼓勵，使他們有成就感，進一步提高學生學習的積極性。另外，數論課還可以讓學生編一些解決問題的算法。比如，編程解決素數判定（當然是適當大的數以內的）、最大公因數的求解、一次同余式的求解。在全班同學范圍內編一個密鑰表來模仿公開密鑰體制給學生發加密信息等?？梢宰寣W生互相比較誰的算法好、速度快，這些既鍛煉了學生的編程能力，又提高學生的學習興趣，同時也培養學生自主學習的能力。

除了上述四個方面外，我們還針對教學中的具體情況采取一些方法。如針對不同層次學生的需求，如何做到因材施教的問題。這是涉及既能保證普遍的教學質量，又能注重優秀學生培養的一個老問題[3]。有的學生天賦好、基礎好，常常會有與眾不同的想法、問題，要積極引導他們，鼓勵他們多讀書，讀好書。鼓勵他們就感興趣的問題查閱文獻資料，這可能同時涉及其他課程、其他學科，也能拓展他們的知識面，讓他們感受到數學的應用以及學科之間的關聯。

在初等數論課堂教學改進的過程中，我們發現利用這門課程的教學適時地向學生滲透數學的某些思想是有效果的。通過這門課程的教與學，很多學生都明白了數學教學的過程是教師引導他們學習前人得到的概念、定理及方法的過程。這些理論的敘述都是倒敘式的，與前人得到的順序是相反的。師生雖然不能完全模擬當年數學家的思維過程，也應盡量一起分析這個問題的產生、可能的解決思路，最終方法的確定，一同回味和享受這個過程。這一過程對他們更好地理解理論、體會思想、學習方法、培養興趣都是非常重要的。另外，這樣做有利于培養學生學習的研究能力[4]。

記得有一位老師說過，基礎課教學的探討永無止境。我們只能探索、改進、再探索、再改進。

參考文獻：

[1]馮克勤.高校代數教學的一些實踐與思考[C]//大學數

學課程報告論壇論文集.北京：高等教育出版社，2005：

49-52.

[2]馮克勤.高校代數課教學的一些作法和看法[J].大學數

學，2004，(5).

[3]曹重光.高等代數課程建設與改革[J].中國科教創新導

刊，2008，(29).

[4]曹重光，張顯，唐孝敏，生玉秋.高等代數課程建設與改

革[J].黑龍江教育：高教研究與評估，2005，(7).