如何克服排列、組合問(wèn)題中的“重”與“漏”

摘 要：認(rèn)真分析排列組合問(wèn)題中的易錯(cuò)問(wèn)題，可幫助學(xué)生深刻理解這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，避免出錯(cuò)。

關(guān)鍵詞：排列；組合；問(wèn)題實(shí)質(zhì)；不重不漏

對(duì)于典型的排列組合問(wèn)題，一般可分為以下幾類(lèi)：

①相鄰問(wèn)題——捆綁法；②不相鄰問(wèn)題——選空插入法；

③復(fù)雜問(wèn)題——總體排除法；④特殊元素——優(yōu)先考慮法；⑤多元問(wèn)題——分類(lèi)討論法；⑥混合問(wèn)題——先選后排法；⑦相同元素分配——檔板分隔法。

以上問(wèn)題，學(xué)生都掌握得非常熟練了。但有些問(wèn)題，不能歸為這七類(lèi)中的任何一類(lèi)，在解決這些計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生做出來(lái)的結(jié)果往往是正確答案的二倍，究其原因，往往是選法數(shù)重復(fù)了，這使學(xué)生非常困惑。

在教學(xué)中，我曾經(jīng)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：從5雙不同的靴子中選出4只靴子，其中恰有2只配成一雙，共有多少種不同的選法？不少學(xué)生都是這樣的思路：第一步，從5雙靴子中選出一雙，有C15種不同的選法；第二步，從剩余的8只靴子中選一只，有C18種不同的選法；第三步，從剩余的6只靴子中選一只，有C16種不同的選法，故符合條件的選法種數(shù)為C15C18C16=240種，殊不知，正確答案是120種。當(dāng)我給出正確答案時(shí)，學(xué)生們頓時(shí)就炸開(kāi)了鍋，立即展開(kāi)了熱烈的討論。后來(lái)，學(xué)生們領(lǐng)悟到，出錯(cuò)在第二步和第三步，如果用a1，a2；b1，b2；c1，c2；d1，d2來(lái)表示剩余的4雙靴子，那么先選到a1，再選到c2，與先選到c2，再選到a1是同一種選法，所以其選法就重復(fù)了。那么，怎樣才能讓學(xué)生在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，能做到不重不漏呢？

一、排列組合綜合問(wèn)題的一般解題規(guī)律

1.處理排列、組合綜合問(wèn)題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類(lèi)”和按事件的過(guò)程“分步”，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

2.排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。

3.復(fù)雜的排列問(wèn)題常常通過(guò)試驗(yàn)、畫(huà)“樹(shù)圖”“框圖”等手段使問(wèn)題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn)，因此，常常需要用不同的方法求解來(lái)獲得檢驗(yàn)。

4.在解決排列、組合綜合問(wèn)題時(shí)，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)。

二、抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征和規(guī)律，講究解題策略和方法技巧，使看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解

有次我叫學(xué)生做一個(gè)練習(xí)：在10件產(chǎn)品中，有8件合格品，2件次品，從中任意抽出3件，求至少有1件是次品的抽法有多

少種？

學(xué)生的做法基本有兩種：①本題至少有1件次品包括：1件次品和2件次品兩種情況，有C12C28+C22C18=64種抽法；②至少有1件次品的反面是沒(méi)有次品：C310-C38=64種抽法。正當(dāng)我準(zhǔn)備講另外一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，有個(gè)同學(xué)突然舉手，說(shuō)：“我有一個(gè)好辦法，不用分類(lèi)就可以做出來(lái)，先在2件次品中抽一件，有C12種抽法，而剩余的一件可被抽出，也可不被抽出，所以就把它與8件合格品放在一起，從這9件產(chǎn)品中抽2件即可，即C29種抽法，由分步計(jì)數(shù)原理得，抽法為C12C29=72種。”其他同學(xué)好像被動(dòng)搖了，我讓他們討論，最終找到了錯(cuò)誤的原因。將8件正品記為A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，2件次品記為B1，B2，那么先抽到B1，再抽到A1與先抽到B2，再抽到A1是同一種抽法。所以，當(dāng)2件次品均被抽到的方法數(shù)就重復(fù)了8種。

另一問(wèn)題：從某6個(gè)人中選出5個(gè)人去坐5個(gè)座位（每個(gè)座位只能坐1人），其中甲只能坐在某個(gè)位置，那么不同的坐法有多少種？

錯(cuò)解：先確定甲的位置，再在其余5人中選4人排列，共有

1·A45=120種排法。

辨析：從6人中只選5人，不一定選到甲。若沒(méi)有選到甲，還有A55=120種排法。題意要求甲只能坐在某個(gè)位置，并沒(méi)有要求那個(gè)位置只能坐甲，還要分選到甲與沒(méi)有選到甲兩類(lèi)，不能漏解。

正解：按選到甲或沒(méi)有選到甲分為兩類(lèi)：若選到甲有1·A45=A55種排法；若沒(méi)有選到甲有1·A55=A55種選法。根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可

知，不同的排法共有A45+A55=240種排法。

排列組合是概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，是高中數(shù)學(xué)教材中的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。教師在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于排列組合問(wèn)題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，找到解決問(wèn)題的對(duì)策，可以有效地避免誤解，準(zhǔn)確地解決排列組合問(wèn)題。

（作者單位 重慶市璧山中學(xué)）