高中數學教學中學生思維能力的培養

《數學標準》指出：讓學生認識數學的科學價值和人文價值，崇尚數學的理性精神，形成審慎思維的習慣。融知識、方法、思維、能力于一體，全面培養學生的素質。因此，提高數學能力素質，對于每一位學生來說，都具有十分重要的意義。下面筆者結合自己多年的教學經驗，就如何培養學生的思維能力談幾點看法。

一、采取變式教學，辨偽存真，培養思維的深刻性

思維的深刻性，就是撇開事物的表面現象，從本質和聯系上理解事物，挖掘出事物的內涵、外延，揭示事物的本質屬性。在數學教學中，教師應發揚變式數學，從不同方面突出問題的實質，從而培養學生思維的深刻性。如在解析幾何第八章內容講完后，我講過這樣的一道題：

例1.已知直線L：y=x-2與拋物線y=2x相交于A、B兩點，求證OA⊥OB。

這是一道比較簡單的題，關鍵是從本題表象出發，能否揭示與此問題相關的所有數學思想方法，向深度擴展呢？我首先啟發學生用如下方法解決：

證法一：先求A、B兩點坐標，由勾股定理OA2+OB2=AB2，可證k?k=-1。

證法二：求出A、B兩點坐標，證k?k=-1。

證法三：聯立方程化簡x2-6x+4=0，結合韋達定理，由k?k==-1可得。接著拓展延伸：

變式（1）：直線y=x+b與拋物線y2=2x相較于A、B兩點，b為何值時OA⊥OB（求法同上）。

變式（2）：直線y=x-2與拋物線y2=2x相較于A、B兩點，求線段AB的長。

思路①：=。

思路②：=。

由此可見，從一道簡單的“證明垂直”問題出發，既檢查和培養了學生“設而不求”的數學思想，“待定系數法”思想，同時又引發出解析幾何中重要問題：“弦長”問題，鞏固了求弦長的方法，也深刻揭示了“垂直”“弦長”等問題之間的聯系。學生在一題多解、一題多思、一題多變中掌握了本應由幾節課才能解決的問題，課堂氣氛十分活躍，真正減輕了學生的負擔。

此外，在多年的教學中，我發現，“辨偽”在教學中的作用十分明顯。學生在正常情況下獲得問題的成功，印象并不深刻，而意外的失敗引出荒謬的結論，其教訓反而令人難以忘卻。

二、運用多種聯想，培養思維的靈活性

思維的靈活性是指思維活動的智力靈活程度，它強調根據事物的發展變化情況，及時提出符合實際的解決問題的假設和新方案。而聯想是指從一事物想到另一事物的心理活動，常有類比聯想、歸納聯想、關系聯想等。學會聯想，是培養事物靈活性的重要方法。例如，《立體幾何》中求線面角，有時面的垂線是很難找到的；求二面角，若找到二面角的平面角，則要在兩個平面內各找一條垂線垂直于棱，且要相交于一點，工作量十分大，而如果聯想到線面角與斜線和面的垂線的夾角關系，二面角的平面角與這兩個半平面的法向量的夾角關系時，這兩類角都可以轉化為向量問題了。從而得到：直線AB與平面α所成角，設是平面α的一個法向量，若<，>是一個銳角，則直線AB與平面α所成角是<，>的余角，即-<，>；若<，>是一個鈍角，則直線AB與平面α所成角是<，>-。同理，若α，β是二面角α－L－β的兩個半平面，，分別是α，β的法向量，如果，起點都在二面角的面內，方向均指向外部或內部，則二面角大小為π-<，>；若一個指向內部，一個指向外部，則二面角的大小為<，>。

三、發展求同存異，培養思維的廣闊性

思維的廣闊性主要表現為能全面地、細致地、多方面地研究問題，不但能考慮問題本身，而且能善于從不同角度考慮和問題有關的其他變化條件和結果。有些基本知識之間既有區別又有聯系，若能掌握這些區別和聯系，既能鞏固類似的知識，又能培養思維的廣闊性。在高三新教材中，差商和倒數是學生不易掌握的兩個問題。其實，它們的聯系更多是形式上的，而區別是本質的。

首先，從變化觀點看，差商是函數y=f(x)當自變量x變到x+ 時的平均變化率，而導數是函數y=f(x)對自變量x在某點處的變化率。

其次，從幾何觀點看，差商是函數y=f(x)在一點處的割線的斜率，而導數是曲線y=f(x)對自變量x在某點處切線的斜率。

第三，從運動觀點看，是平均速度，而是某一時刻的即時速度。

在新教材中，這種概念上的求同存異還體現在許多方面：如向量的平行與共線，排列與組合，點面距離、線面距離、面面距離、異面直線距離等。

四、整理知識結構，培養思維的系統性

是否善于對知識分類、歸納、整理，是學生能否取得好成績，尤其是中下等學生能否提高成績的重要原因，而這種能力是許多學生都欠缺的。教師要發揮主導作用，引導學生對知識進行分類分析，綜合整理，使知識系統化，這有助于學生仔細、全面、系統地思維，從而提高學生解決問題的能力。

首先，整理縱向的知識結構，即每個單元之間的前后聯系。如果能引導學生把學過的知識按前后的邏輯關系系統地串起來，既有利于學生對知識的理解和鞏固，也有利于對知識的遷移和應用。例如，學完《函數》這一章后，我以以下例題讓學生整理知識結構。

例2.已知函數f(x)=lg(2x2-5x+3)。求①定義域；②單調區間；③x為何值時，函數圖像與x軸相交，在x軸的下方；④畫出函數大致圖像；⑤試比較f(x)與g(x)=lg（x-1）的大小。

其次，整理橫向知識結構，即把分散在各個章節但解決同一類問題的各種知識方法系統地整理出來，形成一個完整的知識結構。當然，這一點，相對于前者來說，對學生要求就更高了。例如，我曾經引導學生得出求最值（極值）的八種方法：①配方法；②判別式法；③平均值法；④三角函數法；⑤幾何圖形法；⑥利用線性約束條件；⑦極值定理法；⑧導數法。

五、采用探究方式，培養思維的創造性

創造性是思維品質的最高層次，作為數學教師，我們有責任去點燃學生“發現”之火、“研究”之火、“探究”之火，我們要喚醒學生的創新意識，使之想創新創造?！墩n程標準》指出，要重視學生創新意識的培養，以求推崇創新、追求創新，以創新為榮，這也是數學改革的方向。在教學過程中，我經常嘗試提出一些隱藏有規律的材料、問題，提出一些探究的要求，讓學生通過觀察、分析、研究，從中提出假設、猜想，找出規律，努力培養學生思維創造性。特別是高中新教材，圍繞教材改革，可以更多培養學生這種思維。以《立體幾何》為例，以向量法、坐標法充實（代替）以前僅有的幾何法，不正是這種創新意識的體現嗎？

當然，我們還能在數學中就培養學生的綜合思維能力進行研究和探究，特別是在整個章節講完或高三復習的時候。

總之，在新教材中實施數學能力素質教育是一個內涵豐富的課題，本文只做了膚淺分析，旨在拋磚引玉，在數學教學中如何有效加強培養學生數學能力素質，尚需要我們從理論到實踐堅持不懈地去探索和研究。