探討分部積分法中的數學思想方法

【摘要】本文介紹了一種簡單易行的判別方法，并通過例題加以說明，使初學者較易能夠掌握這種積分方法，探討了如何確定分部積分法中的u 與dv。

【關鍵詞】不定積分 分部積分法 數學思想方法 積分公式

【中圖分類號】O172.2【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2012）10-0141-01

高等數學研究的對象是函數，其中主要研究的是初等函數。在研究初等函數時，先從五類基本初等函數開始，在研究了基本初等函數之后，再研究更為復雜的初等函數。高等數學課程研究的主線是先研究極限和連續，再研究導數和積分等。

在分部積分法教學中，u與dv的選擇作為教學難點，初學者往往對u與dv的選擇的預見性難以把握， 為了突破這一難點，許多具有多年教學實踐的教師結合學情，總結出很多關于選擇u與dv的口訣或規律， 幫助學生快速掌握分部積分法。

一、公式產生的原因和推導

在引導分步積分法的公式時，教學模式一般都是直接由設函數u=u（x）；v=v（x）具有連續導數，根據函數乘積的微分運算法則有：duv=vdu+udv，移項得udv=duv-vdu，兩邊積分得∫udv=uv-∫vdu繼而給出選擇u、v的口訣，最后通過大量習題的演練從而達到熟練應用。分部積分法是在解決諸如∫xn、ex、dx、∫xn、cosxdx等積分問題時出現的，顯然被積函數既不能用直接積分法求得原函數，也不能用換元法來代換后再積分，因此只能回過頭再來觀察被積函數x■。如果被積函數只是x■，它的原函數就是ex+c。但如何將x■轉變成 =1·ex？也就是將x如何轉變為1？顯然學生會立刻想到剛剛學習的最熟悉的導數可以將x如何轉變為1，也就是要把x導一次而ex不導，被積函數就可以轉變為ex了，也就是“前導后不導”，這樣，學生自然而然聯想到了函數乘積的導數問題，即uv′=u′v+uv′。但是積分與微分互為逆運算，因此又聯想到了函數乘積的微分運算法則，即duv=vdu+udv移項得udv=duv-vdu，兩邊積分得乙udv=uv-∫vdu，用這個公式就可以實現將x 轉變為1的愿望，只需要讓x扮演公式中u的角色，而 exdx轉變為dex就知道v 的角色是ex扮演了。這樣，∫xex dx的積分問題也就迎刃而解了。

微分學中最重要的求導法則是鏈式法則。設u=g（x）可微，F（u）在g（x）的值域區間I上可微而且F′（u）=f（u），則有

d[F（g（x））]= F′（g（x））d（g（x））=f（g（x））d（g（x））=f（g（x））g′（x）dx.

利用F′（u）=f（u），u =g（x）兩邊積分得

∫f（g（x））g′（x）dx=∫f（g（x））d（g（x））=F（g（x））+C

= F（u）+C =∫f（u）du

上式稱為不定積分的第一類換元法（或稱湊微分法）。

如果將被積函數展開，利用積分的線性運算性質以及冪函數的積分公式來解上題是相當繁瑣的，從中可以體會出進行積分換元的好處。

二、學習前人總結出來的經驗，解決有關分部積分的不定積分問題

例2：求∫x sin xdx分析：被積函數是冪函數與三角函數 的乘積，用直接積分法和換元法都不能求解，但sinx 的原函數是-cosx，因此需要把被積函數xsinx轉化為sinx，也就是x將一階導轉化為1，故x 就是u 的角色，即解：設u=x，dv=sinxdx=d（-cosx），故v=-cosx由分部積分法的公式，有∫xsinxdx=∫xd（-cosx）=-xcosx-∫（-cosx）dx=-xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+c.

總結：被積函數是冪函數與三角函數的乘積時，將冪函數設為u，通過導數將冪函數轉化為1。

例3：求∫x2e2dx分析：被積函數是冪函數與指數函數的乘積，指數函數是不能通過導數轉化為1 的，因此只能將冪函數通過導數轉化為1，這里的冪函數是x2，因而要導兩次，即解：設u=x2，dv=e2dx=de2 故v=e2由分部積分法的公式可得到：

∫x2e2dx=x2dex=x2ex-∫exdx2=x2ex-∫2xexdx=x2ex -2∫xex dx對等式右邊的不定積分是很熟悉的，只要再次用分部積分法求之，即再設有u=x，dv=e2dx=dex ，故v=ex，有∫x2e2 dx=∫x2dex =x2ex-∫exdx2=x2ex-∫2xexdx

=x2ex-2∫xexdx

=x2ex -2∫xdex=xex-2（xex -∫exdx）=x2ex-2xex+ex+c

例4：求∫exsinxdx分析：被積函數是指數函數與三解函數的乘積， sinx和ex通過導數都不能轉化為1，第一感覺是不能用分部積分法解決問題，但是也不能用直接積分法和換元積分法求解，還是回到分部積分法上，發現sinx的二次導數是-sinx，而ex的導數是本身，等式的右端也出現了式子∫ ex sinxdx，即解：設u=sinx，dv=exdx=dex，故v=ex由分部積分法的公式，有∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx-∫exdsinx =exsinx-∫cosxexdx對等式右邊不定積分再次用分部積分法，即設u=cosx，dv = ex dx=dex，故v=ex，于是∫exsinxdx=exsinx-∫cosxex dx=exsinx-∫cosxdex =ex sinx-（ex cosx-∫ex dcosx）=ex sinxex cosx-∫sinxex dx移項、整理得∫ex sinxdx=ex sinx-ex cosx+c

例5：求∫cos（lnx）dx

解：取u =cos（lnx），dx=dv 則

原式=xcos（lnx）∫sin（lnx）dx

= xcos（lnx）xsin（lnx）-∫cos（lnx）dx 所以

原式=[cos（lnx）sin（lnx）]C.

事實上，有些題并非只有一種解法，而且大多數題目求解的過程也同時涉及到多種方法。由此可見，求解不定積分時，不同的思路可產生不同的解法。

三、分部積分法給人們的另一個啟發是：即使是經典的學科，其中也有很多的問題解決的并不完滿

比如，關于不定積分問題，人們知道了被積函數為冪函數（正整數次冪的冪函數）和其它四類基本初等函數的乘積時的不定積分是一定存在的（原函數是初等函數），但任意兩種基本初等函數和乘積作為被積函數的不定積分卻不一定都存在，比如，和都是不可積的（原函數雖然存在，但都不是初等函數）。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系主編，高等數學（第五版）上冊，2002.07

[2]樊映川.高等數學講義：上冊[M].北京：人民出版社，1964

[3]劉貴濂. 高等數學[M].北京：機械工業出版社，2006