確定直角三角形頂點的位置

1 基本模型及其分析

基本模型 如圖1，已知線段AB以及直線m，在直線m上取一點P使△ABP是直角三角形.

分析 已知一條線段，以這條線段為一邊確定直角三角

形時，通常有兩種分類標準：一是根據“邊”分類即將線段

AB作為直角邊或斜邊，二是根據“直角的頂點”分類，前一

種分類標準具有一定的可行性，但是容易出現遺漏，而后一種

分類標準更容易、更準確、更有條理性，具體如下（如圖2）：

（1）當點A是直角三角形直角的頂點時，那么∠BAP=90°，

點P在過點A且垂直AB的直線上.于是可以這樣確定點P：

過點A作AB的垂線與直線m的交點即為所求.

（2）當點B是直角三角形直角的頂點時，點P的探求方法與

情況（1）類似.

（3）當點P是直角三角形直角的頂點時，那么線段AB是直角

三角形的斜邊，由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”

可知，線段AB的中點O到點A、B、P的距離相等，所以點P

在以AB為直徑的圓上.所以確定點P的方法是以AB為直徑作⊙O，與直線m的交點即為所求.當點O到直線m的距離小于12AB時，這樣的點P有2個，當點O到直線m的距離等于12AB時，這樣的點P只有1個，當點O到直線m的距離大于12AB時，這樣的點P不存在.

綜上所述，已知直角三角形一邊，在另一條直線上尋求一點P，使△ABP為直角三角形，這樣的點P最少2個，最多4個.