學為中心展過程 突出本質蘊思想

函數概念是初中數學教師普遍感到難教，學生難學的一節課，可以說是初中數學的“疑難雜癥”.為此，本區教研室專門針對此疑難問題組織了《72認識函數》一課的教學研討活動，筆者有幸接到執教任務，課前和教研同行對本課作了充分的研究和思考，課后受到與會教師的廣泛好評.現將本課的教學研究、教學過程整理如下，和各位同行交流.

1 教前研究

拿到課題以后，筆者和教研同行們從理解數學、理解學生、理解教學三個維度著重思考了以下3個問題：如何理解函數概念？為什么學生感到難學？為什么教師感到難教？圍繞這3個問題展開了深入探討，整理如下：

如何理解函數概念？浙教版教材中對函數概念的敘述是“在某一個變化過程中，對x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，稱y是x的函數.”函數研究的對象是變化過程中兩個變量間的依存關系，所謂“確定”、指的是自變量在某一時刻變為常量，“唯一確定”指的是因變量在自變量確定的情況下“被常量”，而且是唯一的.即通常意義下，我們說的“一對一或多對一”是函數關系，但“一對多”不是函數關系.

為什么學生感到難學？首先“函數”這個名稱難于直觀表達概念內涵，誤認為“函數”是一個數.其次，對于八年級的學生來說，函數概念很抽象，是一個全新的學習領域，它和以往所學的描述性的數、式概念和形象的幾何概念都有很大的不同，學生很難理解“唯一確定”作為函數概念內涵的必要性和合理性.再者，對于用解析法表示的函數，如y=2x，在學生眼里就是一個二元一次方程.從方程的視角看，x，y就是未知數；從函數的視角看，x，y就是變量.這種視角的轉換學生較難適應.

為什么教師感到難教？浙教版教材將本課標題命名為“認識函數”，是要讓學生認識函數是什么？它有哪些表現形式？本課既要讓學生理解函數的概念，也要讓學生認識解析法、列表法、圖像法表示的函數.是先介紹函數概念，然后再和盤托出它的三種形式？還是將函數概念貫穿于函數的三種表現形式中，螺旋上升地認識函數概念？前一種教法簡單易操作，但是學生理解函數容易浮于表面，后一種方法對教師的課堂駕馭能力提出很大的挑戰.

在充分地研討以后，筆者確定了本課的教學思路，進行了充分的課前準備展開教學.2 教學實況簡錄

2.1 情景導入，激發興趣

上課開始，教師和學生從“中餐費”的話題開始.教學片斷如下：

師：你們中午在校就餐嗎？每天中餐費是多少？

生（眾）：8元.

師：每個月的中餐費相同嗎？

生（眾）：不同.

師：是什么原因導致不同呢？

生（眾）：因為每個月在校的天數不同.

師：請大家算筆帳：（屏幕顯示以下問題）

問題1：9月份在校21天，每位就餐同學應交中餐費多少？10月份18天、11月份23天呢？（同學們隨口報出答案）

師：同學們計算能力真強！確實，天數不同，每個月的中餐費不同！最近有個好消息，快餐公司決定餐費打9折，每餐費用多少？9月份、10月份、11月份的快餐費又是多少？

生（眾）：72元！（學生開始費力地筆算）

師：（把投影切換到Excel）看來，大家算得很費勁.我這里有一個計算器（如圖），我們先在“D4單元格”輸入單價72，再在“C4單元格”輸入就餐天數，則E4單元格就會顯示相應的中餐費.

CDE

2計算器的奧秘

3x（天）單價y（元）

400

（教師輸入19、18、23，屏幕立即顯示相應的中餐費）

師：和你計算的結果一樣嗎？

生（眾）：（驚異地）正確！

師：這玩意的計算速度真快！你知道它的奧秘嗎？

教學評析 以學生親身經歷的“中餐費”為背景導出“現實生活中因天數改變餐費改變”的事實，以“計算器”運算奧秘為話題，既為導出解析法進行鋪墊，又激發了學生強烈的探索欲望.

2.2 抽象概括，彰顯本質

師：（雙擊E4）我們發現這里有個等式：y=D4*C4（板書），D4是什么？（教師引導觀察）

生（眾）：單價.（板書）

生4：C4是輸入的在校天數，y是每月的中餐費.（板書）

師：在我們不斷地輸入──計算、再輸入──再計算的過程中，哪些量是常量？哪些量是變量？

生5：單價72是常量，在校天數和中餐費都是變量.（板書）

師：什么量因什么量的變化而變化？

生6：中餐費y因在校天數的變化而變化.

師：如果我們用x表示不斷變化的在校天數，你會用含x、y的字母改寫上面的等式嗎？

生7：y=72x.（板書）

師：我們再輸入幾個x值.（學生報13，17，…，教師一一輸入得相應y值，）

師：由以上計算可知，當x等于一個確定的值時，y值是否確定？此時y值有幾個？

生8：當x是一個確定的值時，由于單價是常量，它們的乘積也一定是常量，而且只有一個，即y值是確定的，而且是唯一的.

（以下教師再提出全班中餐費與單價72元、在校天數19天、就餐人數x的關系，類似得到y=1368x.鼓勵學生在Excel中編制計算公式，并現場運行檢驗）

師：我們發現：對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值.一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數，其中x叫做自變量.我們將“y=72x”這種表示函數關系的等式叫做函數解析式，簡稱函數式.用函數解析式表示函數的方法也叫解析法.生活中有很多變化過程，都存在著函數關系.

（以下學生舉例說明，老師鼓勵學生用兩個變量來描述.）

教學評析 通過揭秘“計算器”運算奧秘，引導學生從相對簡單的解析法入手抽象概括出函數概念的本質屬性──“對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值”，達到初步了解函數概念的目的.此處“中餐費”背景貼近學生的現實，讓學生感受到函數在日常生活中的應用價值.

2.3 圍繞本質，螺旋提升

師：函數除了用解析法表示以外，是否還有其他表示方法呢？請看下面一個問題.

問題2（投影）：國內投寄平信應付郵資如下表：

信件質量

m（克）0

郵資

y（元）080160240

（1）若有四封信件質量分別為5克、10克、30克和50克，則該分別付郵資多少元？

（2）討論：y是m的函數嗎？

生9：當m=5時，y的值是080.（類似處理其他3個值）

生10：因為5克、10克的信件所負郵資都為080元.所以y不是m的函數.

生11：你的理解是錯誤的！雖然5克、10克的信件所負郵資都為080元，但5克信件所負郵資只有080元這唯一值；10克信件所負郵資也只有080元這唯一值.根據函數概念：對于m的每一個確定的值，y都有唯一確定的值.所以y是m的函數.

（掌聲自發地響起來）

師：那么，前面一位同學的判斷，錯在哪兒？

生12：他認為不同的m值對應“相同”的y值就不是“唯一”了.

師：說到點子上了！判斷兩個變量之間是否存在函數關系，關鍵要抓住函數概念的本質──“對于m的每一個確定的值，y是否都有唯一確定的值”.這種用列表的方式表示函數的方法我們稱之為列表法.

師：如果把表格中“40

生13：不是.例如當m=31時，y有160和240兩個值，并不唯一.

師：這位同學講得非常好！我們可以通過舉反例判斷兩個變量之間不是函數關系.繼續看：

問題3：（1）觀察圖象，當t分別為6點，10點，14點時，相應的氣溫T大約是多少（℃）

（2）溫度T是時間t的函數嗎？

生14：當t為6點時，氣溫T大約是-1℃.（學生上臺邊畫邊講，類似處理第1問）

生15：對于t的每一個確定的值，T都有唯一確定的值，所以T是t的函數.

師：判斷兩個變量之間是否存在函數關系，關鍵要抓住函數概念的本質──“對于t的每一個確定的值，T是否都有唯一確定的值”.這種用圖象的方式表示函數的方法我們稱之為圖象法.（師生共同小結函數的三種表示方法）

教學評析 從列表法、圖像法不斷深化學生對函數概念的理解，體現數學概念“圍繞本質，螺旋提升”的學習過程.在本教學片斷中，問題的設置摒棄了傳統的循序遞進的模式，而是采用難易交錯的波浪式推進方式.如“郵件問題”放置在函數概念剛剛形成之后，看似難度過大，不太合理.但這恰恰是執教者的有意安排，它使得學生對“唯一確定的值”和“不相同的值”展開不同觀點的辯論和質疑，激起了思維碰撞的火花，使本來模糊的概念漸漸變得清晰，讓學生經歷了函數概念的螺旋上升的理解過程.

2.4 橫向聯系，滲透思想

師：現在，我們知道了表示函數的3種方法.那么同一個函數問題能否用三種不同形式來表示呢？（切換到Excel投影）在表格中當x的值輸入1時，對應的y值為7，在圖象中也會出現一個確定位置的點.

（老師在表格x欄依次輸入1，2，…，8，表格、圖象中分別出現對應y值和相應的點）