杜甫的數(shù)學(xué)知識(shí)

杜甫有一首《不歸》詩，懷念一位從弟：

河間尚征伐，汝骨在空城。

從弟人皆有，終身恨不平。

數(shù)金憐俊邁，總角愛聰明。

面上三年土，春風(fēng)草又生。

宋代蔡夢(mèng)弼《草堂詩箋》解釋其中“數(shù)金”一語：“數(shù)，所具切，計(jì)也。謂幼之時(shí)識(shí)錢數(shù)也。”清仇兆鰲注引明胡夏客說：“數(shù)金，用‘河間姹女?dāng)?shù)錢’語，以應(yīng)河間。”如果按蔡氏所說，“數(shù)金”就是年幼時(shí)識(shí)錢數(shù)，未免有點(diǎn)太小瞧這位從弟了。“河間姹女工數(shù)錢”則是漢代童謠（見《后漢書·五行志》），唐人常用此典來歌詠妓女，原文也不能改成“數(shù)金”，應(yīng)該和這首詩沒有關(guān)系。實(shí)際上，詩中此句是講從弟“總角”時(shí)學(xué)習(xí)聰穎，“數(shù)金”是講他的計(jì)算能力。《九章算術(shù)》卷七有這樣的例題：“今有共買金，人出四百盈三千四百，人出三百盈一百，問人數(shù)、金價(jià)各幾何？答曰：三十三人，金價(jià)九千八百。”金不僅是交易物，而且用于計(jì)算物值、表示物價(jià)，所以常常被用來當(dāng)作演算例題。杜甫和我們今天的看法差不多，認(rèn)為數(shù)學(xué)能力可以代表一個(gè)人的聰明程度。我們從這首詩可以了解到唐代士人接受數(shù)學(xué)教育的情況。

那么，杜甫本人的數(shù)學(xué)能力達(dá)到什么水平呢？下面從他的文章里找一些證據(jù)。肅宗上元二年（761），杜甫在西川蜀州為唐興縣令王潛作《唐興縣客館記》，結(jié)尾說：

自辛丑歲秋分大馀二，小馀二千一百八十八，杜氏之老記已。

這里所說的秋分大馀、小馀，是表示節(jié)氣的干支日和時(shí)刻。大馀表示干支日，小馀表示時(shí)刻。由于唐代多次改歷，不同歷法設(shè)定的日分?jǐn)?shù)不同，因此推算出的小馀數(shù)值也不相同。根據(jù)杜甫提供的大馀、小馀數(shù)值加以驗(yàn)算，結(jié)果證明他所依據(jù)的是唐玄宗開元年間頒行的《大衍歷》。

古代歷法都會(huì)設(shè)定一個(gè)歷法起始時(shí)間，稱上元。《大衍歷》給出自上元至開元十二年（724）的年數(shù)（稱積算）為96961740年。據(jù)此推算，自上元至761年的積算為96961777年。歷法還要設(shè)定一個(gè)日分?jǐn)?shù)，《大衍歷》設(shè)定的日分?jǐn)?shù)（稱通法）為3040分。一個(gè)回歸年（即二十四節(jié)氣一循環(huán)）為365日，所含日分共1110343分（稱策實(shí)）。

用策實(shí)乘以積算，所得結(jié)果稱作中積分，即從上元開始到運(yùn)算所求這一年的天正冬至的總?cè)辗帧５?61年應(yīng)為：

96961777×1110343=107660830359511

以中積分除以通法3040，所得結(jié)果即是積日：

107660830359511÷3040=35414746828.78651（日）

積日滿60（即干支一周，《大衍歷》稱為爻數(shù)）即除去，剩下的馀數(shù)稱作大馀。小馀則是不滿一日日分?jǐn)?shù)（在《大衍歷》中是3040）的馀數(shù)。在此例中，積日/60的整數(shù)部分為590245780，這樣就可以得出761年冬至的大、小馀：

35414746828.78651（積日）-590245780×60

=35414746828.78651-35414746800

=28.78651

所得結(jié)果中的整數(shù)28，即是大馀。根據(jù)大馀數(shù)可以求得干支日，不過要從甲子次日起算，數(shù)到28是壬辰，也就是此年冬至日的干支。所得結(jié)果中的小數(shù)部分即是小馀：0.78651×3040=2390.9904（日分）。

求出冬至日的大馀、小馀，然后可以根據(jù)“三元之策”推求其他節(jié)氣的大馀、小馀。《大衍歷》給出的“三元之策”公式是：“三元之策，一十五；馀，六百六十四；秒，七。”（見《舊唐書·歷志》）即每一個(gè)節(jié)氣所含日數(shù)為15（參見張培瑜等《中國古代歷法》第八章《大衍歷》，中國科學(xué)技術(shù)出版社2008年版）。

從冬至到秋分共18個(gè)節(jié)氣，用此年冬至小馀加18個(gè)節(jié)氣整日之外的馀數(shù)：

滿3040為一日，除去：

14348-3040×4=2188

所得結(jié)果2188，就是此年秋分小馀。

冬至大馀加18個(gè)節(jié)氣整日數(shù)，再加小馀滿整日數(shù)的4日：

28+15×18+4=302

滿60（爻數(shù)，干支一周）即除去：

302-60×5=2

得此年秋分大馀2。據(jù)此推算出此年秋分在八月十三日丙寅。

以上演算結(jié)果與杜甫給出的761年秋分大、小馀數(shù)據(jù)完全吻合。肅宗時(shí)期已頒行《至德歷》，杜甫特意給出的這兩個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)是他據(jù)《大衍歷》自己推算出的結(jié)果，其中需要進(jìn)行高位數(shù)的四則運(yùn)算和相當(dāng)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)運(yùn)算。杜甫是借用這種方式來表達(dá)他對(duì)開元盛世的懷念。這表明他年輕時(shí)曾學(xué)習(xí)過歷法，并掌握其中基本的演算方法。

杜甫還作有《唐故范陽太君盧氏墓志》，盧氏是他的繼祖母，也就是他祖父杜審言的繼室。文中記述盧氏下葬情況：

將入著作之大塋，在縣首陽之東原，我太君用甲之穴，禮也。……塋內(nèi)西北去府君墓二十四步，則壬甲可知矣。

在此大塋中，府君（杜審言）葬壬穴，盧氏后葬取甲穴，所采用的是唐代流行的六甲八卦冢葬法。其法是將墓地橫向、縱向皆七分之，共得四十九穴，中心一穴稱地心明堂。其外三重，為天、地、人穴。帝王用天穴（中八穴），諸侯用地穴（次十六穴），卿大夫以下用人穴（最外一重）。人穴依二十四方位排列，但其中只有甲、丙、庚、壬四穴為吉穴，其他二十穴不可用。杜審言取壬穴，是因?yàn)槎判諏儆谖逍眨▽m商角徵羽）中的商姓，利壬穴。壬在北，甲在東，府君墓恰好在盧氏墓西北。

按照葬法，取穴不但要合甲丙庚壬，而且要與十二建除中的“滿定成開”相交。其法是將墓地橫向、縱向皆十三分之（之所以十三分，是為了留出地心明堂，所以只能取單數(shù)），從四個(gè)方向起建除（建除又與神煞、干支配合）。在十二建除（建、除、滿、平、定、執(zhí)、破、危、成、收、開、閉）中，滿、定、成、開分別位于第三、五、九、十一位。這樣，從四個(gè)方向分別起建除，就會(huì)在由每個(gè)方向而來的第三、五、九、十一位上形成四個(gè)交匯點(diǎn)，滿足“滿定成開”相交的要求。這四個(gè)交匯點(diǎn)恰好處在甲丙庚壬四個(gè)方位的延長(zhǎng)線上，也就是甲丙庚壬四穴的取穴處。宋代《地理新書》卷十三有“禽交吉穴之圖”：

圖中虛線表示七分分之，實(shí)線表示十三分之。下方（北）壬所相對(duì)、左方（東）甲所相對(duì)兩點(diǎn)，即分別是壬、甲二穴的取穴處。杜甫文中所說“二十四步”，即是這兩點(diǎn)之間的斜向距離。如圖：

《地理新書》卷十三“禽交六尺立成法”中共列出“甲辰冢壬穴”和“乾冢壬穴”七種規(guī)格的墓地大小長(zhǎng)闊（寬）。經(jīng)過逐一對(duì)比后，我們發(fā)現(xiàn)“乾冢壬穴”中一塊規(guī)格最大的墓地與杜氏大塋最為吻合。該墓地“東西三十九步，南北五十一步”（1步=5尺）。按“禽交吉穴之圖”，對(duì)這塊墓地各邊十三分之，甲穴與壬穴的橫向（東西）距離為7/13×39（步），縱向距離（南北）為3/13×51（步），分別是上圖直角三角形中兩條邊的長(zhǎng)度。杜甫文中的“二十四步”，則是這個(gè)直角三角形中斜邊（弦）的長(zhǎng)度。根據(jù)勾股定理a2+b2=c2對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)算：

所得數(shù)據(jù)只有微小差別，幾乎可以不計(jì)，兩者并非偶然相合。

盧氏下葬離杜審言去世已三十馀年，她葬于甲穴，是按照“臥馬”葬法，后葬附前葬不能排成一列，而要取“雁行斜向”之勢(shì)。這時(shí)，要找到甲穴的正確位置，需要按照葬書所列墓地規(guī)格，由壬穴東行21步（7/13×39），再向南行11步3尺8寸（3/13×51）即得，然后可以用斜行24步進(jìn)行驗(yàn)算。兩者相合，即保證位置準(zhǔn)確無誤。這就是杜甫在文中給出“二十四步”數(shù)據(jù)的原因。葬書只給出長(zhǎng)闊步尺，斜向距離需要自己運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行演算。盡管勾股定理的實(shí)用性很強(qiáng)，普通土木工人也會(huì)運(yùn)用“勾三股四弦五”的口訣找方（直角），但要進(jìn)行上面這例運(yùn)算，就必須掌握《九章算術(shù)》第九章中才介紹的勾股定理公式以及開方。

從以上這兩個(gè)例子來看，杜甫的數(shù)學(xué)知識(shí)雖然還不能與數(shù)學(xué)家相提并論，但放到現(xiàn)在，還是能夠與一般接受中等教育的人一比高下的。