基于R/S分析的股票網(wǎng)絡(luò)分形特征研究

摘要：該文基于R/S分析從兩個不同的角度來分析股市的分形特征： 一是從不同跨度的時間序列角度， 通過選取不同的時間序列，構(gòu)造以月、周、日不同時間跨度的股票網(wǎng)絡(luò)， 分析其標(biāo)度不變性；二是從不同數(shù)量股票節(jié)點的角度，選取不同數(shù)量的股票來構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，主要分析的是自相似特性。選取上海A股的歷史數(shù)據(jù)，對市場的分形結(jié)構(gòu)進行了實證研究。

關(guān)鍵詞：股票網(wǎng)絡(luò)；分形特征；標(biāo)度不變性；自相似性

一、引言

金融市場中越來越多的實證研究結(jié)果都表明股票收益率分布具有尖峰胖尾以及存在長期記憶效應(yīng)等特征，簡單的隨機游走過程不能描述經(jīng)濟和金融系統(tǒng)機制，人們對傳統(tǒng)的有效市場理論產(chǎn)生了質(zhì)疑[1-2]。隨著非線性科學(xué)和復(fù)雜性科學(xué)的蓬勃發(fā)展，越來越多的學(xué)者運用分形理論對金融證券市場價格波動中的非線性現(xiàn)象進行研究。Peters[3]（1989，1991，1994）運用R/S分析法證實了股票價格收益序列服從有偏的隨機游走，并對美國、德國、英國及日本的金融市場進行比較，均發(fā)現(xiàn)了明顯的分形結(jié)構(gòu)。國內(nèi)學(xué)者蘭若蒙等（2008）[4]應(yīng)用R/S分析法分別對上證綜合指數(shù)（1990.12.19-2007.12.28）和深證成分指數(shù)（1991.4.3-2007.12.28）進行分段研究，得出結(jié)果：上證綜合指數(shù)，10≤n≤263的Hurst指數(shù)為0.6403，264≤n≤2079的Hurst指數(shù)為0.5349；深證成分指數(shù)，10≤n≤251的Hurst指數(shù)為0.6336，252≤n≤2058的Hurst指數(shù)為0.5001。王小霞、李星野[5]（2011）以股票為節(jié)點，取適當(dāng)閾值量化股票收益率序列間相關(guān)關(guān)系從而構(gòu)建復(fù)雜金融網(wǎng)絡(luò)，從滬深A(yù)股（2007.9.28-2010.2.26）中選用200、250、300、350、400、450、500只股票分別構(gòu)造金融網(wǎng)絡(luò)，用比較分析法分析金融網(wǎng)絡(luò)的自相似性。

分形時間序列一般具有兩個分形特征：一是標(biāo)度不變性，即月、周、日等不同時間標(biāo)度下的時間序列之間具有相似或者統(tǒng)計上自相似；二是自相似性，即任意局部與整體之間具有某種相似性。國內(nèi)外學(xué)者對股市的分形結(jié)構(gòu)研究只就分形的單一方面，要么是標(biāo)度不變性，要么是自相似性，沒有結(jié)合兩方面的分形特征一起研究的。本文基于分形理論，從標(biāo)度不變性和自相似性兩個方面來分析上海A股的分形特征，更全面透徹地分析中國股票市場的分形特征。

二、研究方法

1 基于R/S分析的股票市場的分形分析

R/S分析法，也稱重標(biāo)極差分析法，是英國學(xué)者Hurst（1951）研究水庫控制時在大量實證研究的基礎(chǔ)上提出的，用以區(qū)分完全隨機時間序列和分形時間序列的一種方法，因此在金融時間序列分形特征研究中得到了廣泛應(yīng)用。其基本思路與計算步驟[3]如下：

1）將長度為N+1的證券價格時間序列pt 轉(zhuǎn)化為長度為N的收益率序列rt ，其中pt，rt分別上證綜指的收盤價與收益率時間序列。

2）將收益率序列rt 分成A個長度為n的子序列，第i個子序列的第j個樣

本數(shù)據(jù)記為rij（i=1，2，…，A；j=1，2，…，n），則第i個子序列的標(biāo)準(zhǔn)差為：sij=■，其中E（rij）=■■nj=1rij為第i個子序列的均值。

3）計算第i個子序列相對于均值的累計離差：Dij=■nj=1[rij-E（rij）]，則該子序列的極差為Rij=maxDi1，Di2，…，Din-minDi1，Di2，…，Din。

4）對于每個子序列，用極差除以相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差進行重新標(biāo)度，對于時間標(biāo)度長度為n的重標(biāo)極差為：（R/S）n=■■Ai=1■。

5）不斷改變標(biāo)度長度n并重復(fù)1）- 4），計算相應(yīng)的重標(biāo)極差（R/S）n統(tǒng)計量，得到重標(biāo)極差與標(biāo)度長度的序列。若（R/S）n與標(biāo)度長度n之間滿足標(biāo)度不變性的分形特征，則它們應(yīng)滿足標(biāo)度不變性的分形特征，則它們應(yīng)滿足如下冪律關(guān)系：（R/S）n∝nH，其中H就是Hurst指數(shù)。可以先作log（R/S）n-log（n）雙對數(shù)圖，然后采用OLS即可求出線性回歸的斜率H值。

2基于R/S分析的股票網(wǎng)絡(luò)的自相似性分析

構(gòu)建一個無向無權(quán)網(wǎng)絡(luò)，從上證A股中選取600只股票為節(jié)點集，對任意節(jié)點i和j，如果股票i和j的價格波動相關(guān)系數(shù)Cij（Cij∈[-1，1]）大于或者等于所指定的閾值θ（θ∈[-1，1]），就認為節(jié)點i和節(jié)點j之間有邊相連。并假設(shè)連接節(jié)點的邊沒有方向，且權(quán)系數(shù)等于1，即該邊是無向無權(quán)的邊。

用Pi（t）表示股票i在時期t的收盤價，Ri（t）=ln（Pi（t）/Pi（t-1））定義為股票i從第（t-1）期到第t期的對數(shù)收益率。因此，股票i和j的相關(guān)系數(shù)Cij可以通過下式來計算：

其中，E（Ri）為股票i在n期內(nèi)的平均收益率，

三、實證分析

1 標(biāo)度不變性實證研究

本文采用上證綜合指數(shù)日收盤價、周收盤價和月收盤價為樣本，日收盤價時間從2008年12月2日到2012年8月14日，總共900個數(shù)據(jù)。為了和日數(shù)據(jù)結(jié)果進行對比，選取同一時段的周數(shù)據(jù)和月數(shù)據(jù)，分別有190個數(shù)據(jù)和45個數(shù)據(jù)。所有數(shù)據(jù)來源于新浪通達信股票軟件。本文對收益率進行研究，若令pt為t時刻的收盤價指數(shù)，則t時的收益率定義為lnpt-lnpt-1。

上證綜指日收益、周收益及月收益時間序列的R/S值對時間間隔的對數(shù)圖如圖1所示。相應(yīng)的Hurst指數(shù)分別為H1=0.53986，H5=0.54524，H22=0.59403，分別以時間間隔來定義，其中H1表示日Hurst指數(shù)，H5表示周Hurst指數(shù)，H22表示月Hurst指數(shù)。從實證結(jié)果可以看出，Hurst指數(shù)均表現(xiàn)為持久性特征，而且隨著標(biāo)度的增加，Hurst指數(shù)呈現(xiàn)遞增趨勢。

由此可見，上證綜指日收益、周收益及月收益的H指數(shù)估計在R/S分析方法下，均大于0.5，這表明上證綜指日收益、周收益、月收益均具有狀態(tài)持續(xù)性。三種不同時間標(biāo)度下的H指數(shù)估計值都大于0.5，但是不顯著，分析結(jié)果不一定可靠，究其原因，可能是樣本觀測值數(shù)量太小，導(dǎo)致對H指數(shù)的期望方差的高估。但是基于以上的估計結(jié)果可以看出日、周、月的H指數(shù)相差不大，這說明以日、周及月為時間標(biāo)度的上證綜指收益率序列具有相同的分形特征，即上證綜指收益率具有標(biāo)度不變性。

2 自相似性實證研究

以2008年12月至2012年8月上海證券市場A股中的600只股票，800個交易日的日收益率作為樣本數(shù)據(jù)，由于股票市場周六、日不進行股票交易，所以本文剔除不交易日后重新建立時間序列，收益率采取對數(shù)收益率。所有數(shù)據(jù)來源于新浪通達信股票軟件。

首先建立股票網(wǎng)絡(luò)圖，具體分析過程為：建立600支股票800個交易日的日收益數(shù)據(jù)矩陣；通過公式（1）計算股票相關(guān)系數(shù)矩陣；分析相關(guān)系數(shù)的分布情況，股票網(wǎng)絡(luò)節(jié)點收益率的絕對相關(guān)系數(shù)大部分分布在0.1～0.4之間，確定閾值r=0.2；將相關(guān)系數(shù)矩陣結(jié)合閾值轉(zhuǎn)化為0-1矩陣A=（aij）：當(dāng) cij大于等于r時，aij=1，當(dāng)cij小于r時，aij=0；根據(jù)0-1矩陣，通過UCINET軟件做出上海A股600支股票的網(wǎng)絡(luò)圖，見圖2。

我們利用Matlab_2010a軟件編程對上述樣本數(shù)據(jù)實現(xiàn)基于R/S分析的股票網(wǎng)絡(luò)的自相似性分析。分別計算出600、400、300、200個股票節(jié)點800個日收益數(shù)據(jù)的股票網(wǎng)絡(luò)圖的H指數(shù)，相應(yīng)結(jié)果見表1。

從表1中我們可以看出，當(dāng)股票網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)分別為600、400、300、200時，相對應(yīng)的股票網(wǎng)絡(luò)的H指數(shù)分別為0.5665，0.5864，0.5565，0.5736，均大于0.5，且H指數(shù)的分析結(jié)果十分接近。由此，一方面表示無論是整體網(wǎng)絡(luò)還是局部網(wǎng)絡(luò)，都具有狀態(tài)持續(xù)性；另一方面也說明局部網(wǎng)絡(luò)和整體網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計性質(zhì)是相同的，說明股票網(wǎng)絡(luò)具有自相似性，上海A股市場是一個典型的分形市場。

四、結(jié)論

通過R/S實證分析，我們可以得出如下結(jié)論：

1、上證綜指的日、周、月收益率序列的H指數(shù)均顯著地大于0.5，因此均存在著較強的狀態(tài)持續(xù)性，也就是說，如果序列在前一個期間是向上（下）走的，那么它在下一個期間將繼續(xù)是向上（下）的趨勢。

2、上證綜指的日收益序列、周收益序列和月收益序列的H指數(shù)的分析結(jié)果十分接近，表明日收益序列、周收益序列和月收益序列的統(tǒng)計性質(zhì)是相同的，因此，中國股市存在標(biāo)度不變性。

3、Hurst指數(shù)均表現(xiàn)為持久性特征，而且隨著標(biāo)度的增加，Hurst指數(shù)呈現(xiàn)遞增趨勢。

4、不同數(shù)量的股票節(jié)點建立的股票網(wǎng)絡(luò)，存在自相似性。

參考文獻：

[1] Boginski V，Burenko S，Pardalos P M. Statistical analysis of financial networks [J]. Computational Statistics Data Analysis， 2005， 48（2）.

[2]黃詒蓉. 中國股市分形結(jié)構(gòu)： 理論與實際[M].廣州： 中山大學(xué)出版社， 2006.

[3]Peters， Edgar E.Fractal Market analysis： applying chaos theory to investment and economics [M]. New York：John Wiley and Sons，1994.

[4]蘭若蒙，魏錸，牛敏.R/S分析與中國股市的分形特征[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2008（5）： 26-30.

[5]王小霞，李星野.復(fù)雜金融網(wǎng)絡(luò)的自相似性研究[J].電腦知識與技術(shù)，2011（4）： 723-725.