在猜想與驗證中發現

【教學內容】人教版五年級下冊第40至42頁。

【教學目標】

1. 使學生經歷體積公式的發現過程，理解并掌握長方體和正方體體積的計算方法。

2. 使學生能運用長、正方體的體積計算解決一些簡單的實際問題。

3. 培養學生歸納推理與抽象概括的能力。

【教學重點】

長方體和正方體體積公式的推導和應用。

【教學難點】

長方體體積公式的推導。

【教學過程】

一、創設問題情境，激發探究需要

師：小明家剛剛買了一臺冰箱。他發現紙箱上有個說明——包裝尺寸：185×150×230 mm。小明不知道這是什么意思，同學們，你知道這是什么意思嗎？我相信大家通過這節課的學習就能幫助小明解決這個問題了。

【設計意圖】聯系生活創設情境，使學生在感受數學與生活聯系的同時，產生積極探究的興趣。

二、經歷探究過程，概括體積公式

（一）教學長方體的體積

1. 比一比：

先觀察，再比較，引導學生發現：長、寬相等時，越高，體積越大；寬、高相等時，越長，體積越大；長高相等時，越寬，體積越大。（學生只能敘述看到的，教師須引導概括）

2. 猜一猜：

師：長方形的面積與長和寬有關，長方體的體積可能與什么有關？（板書課題：長方體的體積）

3. 擺一擺：

（1）小組合作，用若干個體積是1立方厘米的小正方體擺成不同的正方體。

學生分小組活動，分別記下擺出的長方體的長、寬、高。 教師巡視，然后請擺成不同長方體的學生分別回答。

【設計意圖】學生剛剛學過體積單位和體積大小比較的方法，引導學生把三組長方體進行比較，使學生的猜測建立在學生已有的知識經驗基礎上，為學生進行探究指明方向。學生驗證猜想時，可以自由擺不同長方體，這樣既能調動學生探究的積極性，又能為合作學習營造氛圍。學生在操作、交流中可以初步感知到沿著長方體的長、寬、高各擺幾個正方體，它的長、寬、高就分別是幾厘米；長方體里有多少個正方體，體積就是多少立方厘米，體積與長、寬、高有關，從而使學生產生繼續研究的動力。

（2）用1立方厘米的小正方體擺出下面的長方體，各需要幾個？先想一想，再擺一擺：

學生分小組操作后，交流各自擺的方法。有的學生擺放時可能按照要求一個一個擺放，有的學生則可能會有創新想法，比如第3個長方體一共只擺7個，即長邊上擺放4個，寬邊上再擺放2個，高邊上再擺放1個，借助想象拼出長方體，也是可以的。

4. 說一說：

從上面的操作中，你發現長方體的體積與什么有關？有什么關系？先小組交流，再全班交流。（學生說擺法，教師課件演示）

（1）一排擺出4個1厘米■的正方體→一共擺了1排→擺1層。

（2）一排擺出4個1厘米■的正方體→一共擺了3排→擺1層。

（3）一排擺出4個1厘米■的正方體→一共擺了3排→擺2層。

小結：圖中表示長的數，表示一排擺了4個1厘米■的正方體；表示寬的數表示擺了幾排，表示高的數表示有幾層。

【設計意圖】用1立方厘米的正方體擺出圖示的三個長方體，就是引導學生用體積單位測量物體的體積。三個長方體或長寬相等，或長高相等，學生在操作交流中能進一步感知長方體體積與長寬高之間的關系，有助于學生逐漸建構數學認識。學生說的過程就是引導他們回顧、反思的過程。長方體的體積公式呼之欲出。

5. 理一理：

概括長方體的體積公式：長方體的體積=長×寬×高。

如果用字母V表示長方體的體積，用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高，那么長方體的體積公式就可以寫成：V=abh。

6. 練一練：

出示：一個長方體，長7厘米，寬4厘米，高3厘米，它的體積是多少？（例1）

學生口答，教師板書：7×4×3=84（厘米■）。

答：它的體積是84厘米■。

【設計意圖】學生經歷“大膽猜測—合作探究—操作驗證”的過程后，概括體積公式已經是水到渠成，學生對自己探究出來的結論印象更深、理解更透。另外，引導學生進一步通過操作驗證猜想，有助于學生理解體積與長、寬、高之間的必然聯系，感受數學的嚴謹及結論的確定性。引導學生學以致用，能幫助學生及時鞏固所學知識。

（二）教學正方體的體積

1. 課件演示例1中長方體（長7厘米，寬4厘米，高3厘米）變成正方體的過程。

2. 提問：現在，這個圖形的長、寬、高各是多少？變成了什么圖形？怎么求它的體積？

3. 學生口答，教師板書： 3×3×3=27（厘米■）。

4. 提問：我們已經會計算具體的正方體的體積了，能說出正方體體積計算的方法嗎？學生口答，教師板書：正方體體積=棱長×棱長×棱長。

用V表體積，a表示棱長，公式可寫成：V=a·a·a或者V=a3。

5. 教學例2：（投影）一塊正方體石料，棱長是6分米，這塊石料的體積是多少立方分米？

學生口答，教師板書：6■=6×6×6=216（分米■）。

答：體積是216分米■。

6. 小結：正方體的長、寬、高都相等，所以公式中b，h都變為a。變換后，雖然長方體和正方體體積公式寫出來不相同，但計算方法的實質是一樣的，都是長×寬×高。

【設計意圖】根據正方體的特點，學生在獨立思考之后小組交流，能從長方體的體積公式演繹推導出正方體的體積公式。寫正方體體積的字母公式時，乘號省去不寫，要寫成V=a3，這是新知識，及時練習有助于學生內化新知。溝通長方體和正方體體積之間的聯系，有助于學生靈活掌握所學知識。

三、解決實際問題，靈活應用公式

1. 口答填表：

2. 判斷正誤并說明理由。

①0.2■= 0.2×0.2×0.2。（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）

②一個長方體，長5分米，寬4分米，高3厘米，它的體積是60分米■。（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）

③一個正方體棱長4分米，它的體積是4■=12（分米■）。（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）

④體積相等的兩個長方體，它們的長、寬、高的長度一定相等。（？搖？搖？搖？搖？搖？搖）

3. 冰箱包裝盒上的問題：小明家冰箱的包裝尺寸是185×150×230 mm表示什么？

【設計意圖】練習設計體現一定的層次性：口答填表是引導學生靈活應用長方體和正方體的體積公式，判斷正誤是幫助學生準確理解和靈活掌握所學的公式；解決冰箱問題，既是首尾呼應，也是幫助學生學會解決生活中的實際問題，使學生感知數學來源于生活實踐、學好數學能解決生活中的實際問題。

四、回顧所學知識，分享學習收獲

1.今天我們研究了什么？

2.這些知識可以幫助我們解決哪些問題？

（作者單位：江蘇省泰興市教育局教研室）