怎樣證明至少有一個方程有（無）實根

關于證明幾個方程至少有一個有或無實根類問題，若從正面分類證明，將會很復雜，而且容易出錯，不妨采取轉化法，將所證結論轉化成另一種含義不變或相反，而說法有變且有利于理解的結論，從而達到快速簡捷得證的目的，現舉幾例以示說明.

例1 求證：不論a為何值時，關于x的兩個方程x2-ax-（a-1）=0和ax2+x+a+2=0中，至少有一個無實數根.

分析 按a是否為0兩種情況討論，若a=0，問題很快得證；若a≠0，則兩個方程都是關于x的一元二次方程，就只需證明兩個方程的判別式至少有一個小于零即可.而本題根本證明不出哪一個判別式小于零，如果將問題轉化為討論兩個判別式之和的符號，就簡捷得多.因為只要Δ1+Δ2<0，就可得到Δ1與Δ2中至少有一個小于零，也就是已知兩方程中至少有一個沒有實數根.

證明 （1）當a=0時，方程x2-ax-（a-1）=0變形為x2=-1，此方程無實數根，這就已經不必再討論第二個方程的根的情況了，因此問題得證.

（2）當a≠0時，設已知兩方程的判別式分別為Δ1、Δ2.因為Δ1+Δ2=（-a）

例2 求證：不論a為2以外的任何值、方程x2+4x-4a+12=0與2x2-4ax+2a2+a-2=0中必有一個無實數根（或必有一個有實根）.

分析 因為Δ1=16a-32，Δ2=16-8a，Δ1+Δ2=8a-16，所以本題根本無法證明任何一個判別式小于零，也不能證明兩判別式之和小于零，因此只有另謀它法.如果Δ1·Δ2<0，那么Δ1與Δ2中必有一個為負數，即兩方程中必有一個無實數根.

證明 因為Δ1=42-4（-4a+12）=16（a-2），Δ2=（-4a）2-4×2×（2a2+a-2）=-8（a-2），又因為a≠2所以Δ1·Δ2=-128（a-2）2<0，所以Δ1與Δ2中必有一個為負數（也必有一個為正數）.所以命題得到證.

例3 求證：不論m為任何值，方程4x2+4x+a-1=0與4x2+4ax+a2-2a+5=0中至少有一個無實數根.

分析 設前后兩個方程的判別式分別為Δ1，Δ2.Δ1=32-16a，Δ2=32a-80，Δ1+Δ2=16a-48，Δ1×Δ2=-512（a-225）2+32.

從上可發現既無法證明某一個判別式小于0，也不能證明兩個判別式之和小于0，還不能證明兩個判別式之積小于0，此時好象已無它法（你能有何方法嗎？），我們不妨將“至少有一個無實根”轉化為“最多只有一個有實根”，再轉化為“不可能兩個都有實根”，即“如果一個有實根，那么另一個不可能也有實根”.這樣便可輕松證明.

證明 設已知兩方程的判別式分別為Δ1，Δ2.則Δ1=42-4×4×（a-1）=16（2-a），Δ2=（4a）2-4×4×（a2-2a+5）=32a-80=16（2a-5）.

因為當Δ1=16（2-a）≥0時a≤2，在此條件下Δ2≤-16<0，

當Δ2=16（2a-5）≥0時a≥25，在此條件下Δ1≤-8<0.

所以Δ1與Δ2不可能兩個都為非負數，即Δ1與Δ2中最多只有一個為非負數，也就是至少有一個為負數.所以已知兩方程中至少有一個無實根.

例4 求證：不論a為何值時關于x的方程x2-ax+a=0與4x2+8ax+5a2-4a-5=0中，至少有一個有實根.

分析 “至少有一個方程有實根”可轉化為“兩個判別式中至少有一個為非負數”.（1）如果能證明兩個判別式中任何一個為非負數，那么問題得以解決；（2）如果兩個判別式之和為非負數，那么問題也得以解決；（3）如果兩個判別式之積為非正數，那么問題同樣可以得到解決.然而對于本題來說，這三種假設不是證明不了就是難以證明.因此還需再轉化，將“至少有一個判別式為非負數”轉化為“不可能兩個判別式都小于零”.即由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組無解.

例5 已知a、b、c是互不相等的非零實數，求證：三個方程

ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有兩個相等的實數根.

證明 （用反證法）設三個方程都有兩個相等的實數根.