數形結合快速判定圓與圓的位置關系

圓與圓的位置關系有五種：內含、內切、相交、外切、外離.其判定方法通常有兩種：一種是根據兩圓的位置關系的定義即利用兩圓公共點的個數來判定；另一種是由圓心距與兩圓半徑的長度來確定即通過兩圓的半徑與兩圓圓心距之間的數量關系來判定其位置關系.

筆者在長期的教學實踐中，充分借助數軸的直觀性，探索實踐了第三種方法——“數軸判定法”，利用學生熟知的數軸從左到右對應的數據由小到大的特點，可快速記憶，其記憶規律如下圖所示：

順著數軸從左（從原點O開始）到右的方向數據逐漸增大，而兩圓的圓心距d（等于R-r或R+r）也從0開始依次逐漸增大，從而兩圓的位置關系也對應著此數軸的正方向由兩圓內含（或同心）順次延展到兩圓外離，相對兩圓的距離也由近及遠.

“數軸判定法”直觀、簡明，易于學生理解和記憶.利用這一記憶規律，能快速、準確地判斷出圓與圓的各種位置關系，把它稱為圓與圓的位置關系的第三種判定方法，呈現給大家，請大家不妨一試.

例1 （2012年江蘇常州）已知兩圓的半徑分別為7、3 ，圓心距為4，則這兩圓的位置關系為

A.外離 B.內切 C. 相交 D.內含

解 因為兩圓的半徑分別為7、3，而7-3=4，即有d=R-r，根據“數軸判定法”可知，兩圓的位置關系是內切，所以選B.

例2 （2012年內蒙古赤峰）已知兩圓的半徑分別為3 cm、4 cm，圓心距為8 cm，則兩圓的位置關系是

A.外離 B.相切 C.相交 D.內含

解 因為3+4<8，即有r+R

例3 （2012年山東濰坊）已知兩圓的半徑分別是方程x2-7x+10=0的兩個根，兩圓的圓心距為7，則兩圓的位置關系是

A.相交 B.內切 C.外切 D.外離

解 因為方程x2-7x+10=0的兩個根分別為2和5， 所以兩圓的半徑分別是2和5.又因為2+5=7，即有d=R+r，根據“數軸判定法”可知，兩圓的位置關系是外切，所以選C.