想象的力量：有界軸對稱圖形的概念與性質

數學教師創設數學問題似乎是天經地義的事情.而對數學問題的主動的、持久的、周密的思考，往往會產生新的概念.且概念的創新也往往伴隨著規律的發現與論證.兩者相輔相成.或許，這就是理論研究的目的.

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命題的提出

1.1 有界軸對稱圖形的定義

如果軸對稱圖形上的每一點都落在同一個圓內，則稱這個軸對稱圖形為有界軸對稱圖形.稱這個圓為有界軸對稱圖形的界圓.

之所以提出這個新概念，是因為在考慮軸對稱圖形的對稱軸是否共點時，需要對軸對稱圖形進行分類討論.來拓展對稱軸共點的軸對稱圖形的外延，以便增進數學知識.因此，我們研究以下的猜想.

1.2 命題：有界軸對稱圖形的對稱軸共點

從這里可看出數學概念的創新，不僅產生了新規律，也使得規律表述變得簡單扼要.

事實上，在好奇心的驅使下，你也可能會想象各種軸對稱圖形，甚至于一些極端情形下的軸對稱圖形的對稱軸.如：圓有無數條共點的對稱軸；直線有無數條互相平行的對稱軸；平面也可以看成是軸對稱圖形，且平面上的任一條直線都是它的對稱軸.等等.從中提出問題，給予猜想，探求規律.2

命題的論據

當然，以上命題的成立，需要嚴格論證.為此，先引入以下定理：

對稱軸分布均勻定理：軸對稱圖形如果有兩條對稱軸，則這兩條對稱軸中的一條關于另一條的軸對稱直線，也是該軸對稱圖形的對稱軸^[1].

軸對稱圖形旋轉定理：軸對稱圖形C如果有兩條相交于點O，夾角為α的對稱軸.則在同一平面上，圖形C繞著點O旋轉2kα（k為整數）后的圖形C1與圖形C重合^[1].

對稱軸共點定理：N（N>1） 重軸對稱圖形的對稱軸共點^[1].

說明：此定理的證明過程中，只應用了由題設條件推出的兩個結論：對稱軸交點個數有限與對稱軸兩兩相交，就可使結論成立.

2.1 引理1：有界軸對稱圖形的對稱軸必與它的界圓相交.

說明：這是由軸對稱圖形的定義所決定的.

2.2 引理2：有界軸對稱圖形的對稱軸的交點在它的界圓內.

說明：由軸對稱圖形旋轉定理即得.

2.3 引理3：軸對稱圖形有兩條平行的對稱軸時，該軸對稱圖形為非有界軸對稱圖形.

說明：由對稱軸分布均勻定理即得.

所以，有界軸對稱圖形的對稱軸如果說有兩條或以上，則必兩兩相交.

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命題的分析

在去除只有一條對稱軸的軸對稱圖形后，依軸對稱圖形的對稱軸條數與對稱軸的交點個數，按有限與無限進行分類討論.對有界軸對稱圖形的對稱軸是否共點行深分析.

我們知道，當一個軸對稱圖形的對稱軸條數有限時，該軸對稱圖形的對稱軸共點.而當一個有界軸對稱圖形雖然有無限多條對稱軸，但其交點個數有限時，由于有界軸對稱圖形的對稱軸兩兩相交，根據以上對稱軸共點定理的說明，可以照見原命題成立.即：以上兩種情形下，對稱軸只相交于同一點.

因此，如果原命題不成立，則只有一種可能：當一個有界軸對稱圖形有無限多條對稱軸時，對稱軸的交點個數無限.

此時，任選其中一條對稱軸m，由引理3可知，其余對稱軸都與m相交.由引理2可知，對稱軸的交點在它的界圓內.據此，可以想象，m上的對稱軸交點，都在m的一條線段AB上，而線段AB在它的界圓內.

此時，按線段AB上的兩端點是否是對稱軸的交點分類討論.只能是以下三種情形：

3.1 線段AB的兩個端點都是對稱軸的交點

此時，由對稱軸共點定理的證明過程^[1]可知，在對稱軸m上可以找到一個對稱軸的交點，且這交點在線段AB外.矛盾！

故，此種情形不可能存在.

3.2 線段AB的兩個端點中只有一個是對稱軸的交點

此時，設端點A為對稱軸的交點，端點B不是對稱軸的交點.且對于線段AB內任意一點C（不含點A、B），線段CB上都有無限多個對稱軸的交點.其理由是，如果在線段AB上有一點C：其一、使得線段CB上無對稱軸的交點.

此時，可以將沒有對稱軸交點的線段CB舍去，且將點C記為B，返回上述創設.這種情形如果永遠存在下去，則，只有端點A是對稱軸的交點.原命題成立.

這樣，可以認為通過有限次的上述”舍去”操作后，線段CB上就有對稱軸的交點.

其二、使得線段CB上有對稱軸的交點，但對稱軸的交點個數有限.

此時，由于對稱軸的交點個數有限，可以將最靠近點B的交點選取，仍然記為B.則線段AB的兩個端點都是對稱軸的交點.且對稱軸m上，除線段AB外沒有對稱軸的交點，變為前述31節的情形.這是不可能的.

3.3 線段AB的兩端點都不是對稱軸的交點

此時，對于線段AB內任意一點C（不含點A、B），可設線段AC、CB上都有無限多個對稱軸的交點.理由同上.

總之，其分析過程大致可見以下流程圖：

證明：如圖1.反證法，如果此假設成立.則可知對稱軸m上的對稱軸交點都在線段AB上，而線段AB在它的界圓內.設點A為對稱軸的交點，點B不是對稱軸的交點.且對于線段AB內任意一點C（不含點A、B），線段CB上都有無限多個對稱軸的交點.

記線段AB的中點為D，任取一個正數ε

4.1 關于對稱軸交點A的說明

由于端點A為對稱軸的交點，由對稱軸分布均勻定理，可設過點A的兩條對稱軸為m1，m2，兩條對稱軸m1，m2關于對稱軸m軸對稱.兩條對稱軸m1，m2與對稱軸m所形成的角均為α.而兩對稱軸m1，m2不重合.即：它們與對稱軸m不垂直.否則，由對稱軸分布均勻定理，對稱軸m上，端點A左右兩側都有對稱軸的交點.與題設矛盾.故角α可設為銳角.4.2 關于對稱軸交點E的說明

由題設，線段CB上有無限多個對稱軸的交點.故可在線段CB上任取一個對稱軸的交點E（不含點C、B）.由引理3，有界軸對稱圖形的對稱軸必兩兩相交.故可設過點E的另一條對稱軸為n1.它與兩條對稱軸m1，m2相交于兩點F、G.由此而形成的△AFG的兩個內角β、γ中必有一個是銳角.不妨設角β是銳角.4.3 關于對稱軸交點H的說明

這樣，對稱軸m1關于對稱軸n1的軸對稱直線n2必與線段EB交于H點.這是因為，由對稱軸分布均勻定理，直線n2也是對稱軸，故點H是對稱軸的交點.而對稱軸m上的對稱軸交點只在線段AB上.且β是銳角，使得直線n2與線段AE必不相交.

4.4 極限理論的應用

設d為點D到對稱軸m1的距離.由于角α為銳角，AE>AD.所以，有EF>d>0.根據正弦定理，在△HFE中，有：

而α，β均為銳角.ADsin α>0，為常數.

由于β→0，所以，有：AF→+∞.

故必有一對稱軸的交點F，存在于有界軸對稱圖形的界圓外.與引理2矛盾.證畢.

另外，可以將本文第33節中的點C看成是對稱軸的一個交點，且過該交點的對稱軸與對稱軸m不垂直.則同理，其假設不成立.

至此，我們徹底否定了本文第3節中使原命題不成立的唯一可能.即：當一個有界軸對稱圖形有無限多條對稱軸時，對稱軸的交點個數無限.這一可能不存在.

因此，在不考慮只有一條對稱軸的軸對稱圖形（下同）時，我們證得了一個重要性質：

有界軸對稱圖形的對稱軸共點.

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命題的想象

至此，我們對對稱軸共點的軸對稱圖形的認識，從考慮對稱軸條數是否有限，到考慮軸對稱圖形是否有界，來判定對稱軸是否共點.這就增加了判定的方法.同時，也拓展了對稱軸共點的軸對稱圖形的外延.

所以，從概念、方法與規律這三方面來說，都增進了數學知識.達成了本次研究的目的.

但是，我們也可以從另一方面來想象一下，如果軸對稱圖形的對稱軸不共點，則它有什么規律？可以得出的結論是，它有無數條對稱軸，且對稱軸交點個數無限.當然，它也是無界的.但能否說它必有兩條平行的對稱軸？這一問題有待以后研究.

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命題的涅槃

先前，在證明本文命題時，按照解決類似問題的慣有思維定勢，試圖在圖1中的對稱軸m上找到一個對稱軸的交點，又使這交點在線段AB外.結果徒勞無功，而苦思良策.

直到某夜，眼花繚亂之時，忽而感覺圖1中的三角形在移動旋轉，仿佛火中鳳凰涅槃.于是，從中得到了啟迪.

因此，經過轉換思路，找到了問題解決的關鍵所在.就是將上述三角形看成是動態變化的.分析其變化趨勢，采用極限理論，在題設條件下，證明確有對稱軸的交點，存在于有界軸對稱圖形的界圓外.從而產生矛盾.使問題得以解決.大概，這就是想象的力量！

值得一提的是，本文命題由當初作為待證的猜想，到成為已證之規律.這一結果，可謂命題之重生.其中，作者不僅體驗到想象的力量，也產生了諸如”證明‘存在’比證明‘找到’容易”等感悟.這一過程，可謂命題之升華.合而謂之命題的涅槃.甚慰！甚慰！

總之，展開想象力，通過系統的區分和周密的鑒定分類單元，可以使數學更有規律！

后記

本文的看點，在于作者受好奇心的驅使， 展開想象力，在定義了一個數學概念后，綜合運用反證法、分類思想與極限理論，創設與解決了一個幾何問題.得到了一個新規律.從而為中學幾何教學之規律探索，提供了新的理論基礎與素材.說明了這樣的一個事實：即使在初等數學中，也有未知的規律，值得探索.

同時，本文也為將極限理論應用于幾何問題的解決，創建了一個較為典型的實例.

參考文獻

[1]林東偉，葉對萍.教材研讀拾穗：軸對稱圖形的對稱軸分布規律[J].中學數學雜志，2012，（6）.