構(gòu)建坐標(biāo)系 妙解幾何題

在解決某些平面幾何問題時(shí)，可先構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系將歐氏平面內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的問題，再利用與坐標(biāo)相關(guān)的方法可巧妙地解，此即所謂的解析法.在許多求解與證明的題目中，其中不乏平面幾何的經(jīng)典問題以及數(shù)學(xué)競賽中的熱點(diǎn)內(nèi)容，都可以運(yùn)用這種解析法，下面結(jié)合案例具體分析.

1 與長度相關(guān)的問題

小結(jié) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線的斜率k體現(xiàn)直線的傾斜程度，其大小與傾斜

角度直接相關(guān).本例通過構(gòu)建坐標(biāo)系，結(jié)合坐標(biāo)系內(nèi)直線的相關(guān)知識求解，省去了添加輔助線進(jìn)行證明的麻煩，同時(shí)也為不能順利添加所需輔助線而徘徊在解題切入點(diǎn)的學(xué)生提供了一種易于理解和操作的方法.

3 與面積相關(guān)的問題

小結(jié) 面積的等分問題是歐氏平面內(nèi)和坐標(biāo)平面內(nèi)的常見問題.本例將歐氏平面內(nèi)的面積問題通過構(gòu)建坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的面積問題，借助與坐標(biāo)相關(guān)的方法求解比較簡單.本例如果運(yùn)用相似三角形的辦法求解，一些學(xué)生不能順利找到解決問題的途徑.

4 與點(diǎn)共線、線共點(diǎn)相關(guān)的問題

例6 反射問題相關(guān)

如圖6，從點(diǎn)A發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡l反射后經(jīng)過點(diǎn)B，其折點(diǎn)可以這樣確定：①作點(diǎn)

A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B與l的交點(diǎn)即為折點(diǎn)；②作點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連結(jié)B′A與l的交點(diǎn)即為折點(diǎn).也就是直線A′B、B′A、l共點(diǎn).

小結(jié) “點(diǎn)共線”與“線共點(diǎn)”問題是平面幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，而且往往有著豐富的內(nèi)涵，觸碰到平面幾何較深層次的領(lǐng)域.本例通過構(gòu)建坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)系內(nèi)的軸對稱變換和直線的相關(guān)知識求解，顯然簡潔且易于接受.當(dāng)然，本例中的中問題“A′B、B′A、l共點(diǎn)”也可轉(zhuǎn)化為“A′B、l的交點(diǎn)與點(diǎn)A、B′共線”求解.

從上面的案例及其求解過程中不難發(fā)現(xiàn)：充分挖掘題目中的“互相垂直”這一條件構(gòu)建坐標(biāo)系是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，進(jìn)而借助坐標(biāo)平面內(nèi)與直線相關(guān)的方法可以巧妙地解決“直線形圖形”的相關(guān)問題.這種解析法利用較少的坐標(biāo)系內(nèi)常見模型就形成了解題的策略，其優(yōu)勢有如“向量方法”之于“立體幾何”問題，簡約且自然.不過文中的很多問題，其求解方法豐富多彩，筆者只是把“構(gòu)建坐標(biāo)系”作為切入點(diǎn)，歸納整理了其中的常見問題及其解決策略.同時(shí)，這種方法盡管有一定的通用性，但也有其局限性.下面一則案例是筆者平時(shí)教學(xué)中運(yùn)用“幾何畫板”教學(xué)中無意中發(fā)現(xiàn)的，也成為促動(dòng)筆者撰寫這篇文章的契機(jī)：

一六邊形ABCDEF如圖8所示（圖中的角均為直角），作一條直線把其面積平分，有如圖8-1、8-2、8-3所示的三種典型方法，求證：直線PQ、MN、RS共點(diǎn).

問題的解決策略可作這樣的分析：如圖，以B為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，a）、

C（b，0）、E（c，d），從而可以表示點(diǎn)D、F以及O1、O2、O3、O4、O5、O6的坐標(biāo)，進(jìn)而確定直線直線PQ、MN、RS，再證明其共點(diǎn).思路清晰自然，但仔細(xì)探究后發(fā)現(xiàn)，其間的計(jì)算過程比較繁瑣，這也是解析法的一個(gè)局限.

可以說，在初中范圍內(nèi)通過“構(gòu)建坐標(biāo)系”的“模型思想”不僅為解題提供了一種工具，而且讓學(xué)生更進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的妙處，“以數(shù)助形”的體驗(yàn)也會(huì)為高中數(shù)學(xué)中的“解析幾何”奠定一定的基礎(chǔ).