“排列組合”的教學(xué)設(shè)計及思考

“排列組合”是高中代數(shù)的一個獨立分支，其應(yīng)用廣泛，與其他知識聯(lián)系較少，解題思想方法靈活，可以發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和抽象能力.但正因為這部分內(nèi)容的思維抽象，條件隱晦，使學(xué)生覺得難以下手，比較難學(xué).以下是我在教學(xué)中的一些設(shè)計及思考.

一、加大兩個計數(shù)原理、排列與組合的對比力度

分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的知識的應(yīng)用貫穿著排列組合及概率的學(xué)習(xí)，是學(xué)好這部分知識的關(guān)鍵.如果對分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理的理解不充分，就會影響解決排列組合問題的準(zhǔn)確性.而且近幾年高考將側(cè)重點放在兩個計數(shù)原理的考查上.所以在進行這兩個原理的教學(xué)中一定要講清講透.我的做法是，先通過教材（人教A版）給出的問題利用列舉法得出答案，讓學(xué)生對分類、分步有初步的了解，分析兩個問題的區(qū)別，明白類和步的區(qū)別，使學(xué)生清楚“類”和“類”是相互獨立的，任何一類辦法中的一種方法都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法數(shù)就用分步計數(shù)原理；“步”和“步”是相互依存、缺一不可的，完成一件事需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，求完成這件事的方法數(shù)就用分步計數(shù)原理.最后總結(jié)出：分類相加，分步相乘.然后再做一些深化鞏固練習(xí).為了激發(fā)學(xué)生的興趣并與高考接軌，可以讓學(xué)生練習(xí)一些高考題.

【例1】（2012年高考全國卷理，11）將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）.

A.12種B.18種C.24種D.36種

師生互動：先排第一行第一列，可以在a，b，c中任意選一個，有三種方法；再排第一行第二列，可以在剩下的兩個字母中任意選一個，有兩種方法；最后排第二行第一列，有兩種方法.排完這三個位置后其他位置的字母就確定了，完成這件事分3步，所以用乘法.可得3×2×2=12種.

【例2】（2012年高考北京理，6）從0，2中選一個數(shù)字.從1、3、5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為（）.

A.24B.18C.12D.6

師生互動：組成的三位數(shù)可以分成兩類：奇偶奇，和偶奇奇.第一種先填個位（3種選擇），再十位（2種選擇），最后百位（2種選擇），共12種；如果是偶奇奇，同理，個位（3種選擇），再十位（2種選擇），最后百位（1種選擇），共6種，因此共有12+6=18種情況.得到結(jié)果后再來與學(xué)生一起分析用乘法或加法的原因.這樣設(shè)計使學(xué)生從具體到抽象到具體地去掌握兩個原理，符合人的認(rèn)識規(guī)律.

而區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān).若交換兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即有序排列，無序組合，并用例題來說明.在教學(xué)中加大分類與分步計數(shù)原理、排列與組合的對比力度，就能強化它們在學(xué)生頭腦中的可辨別性，避免在解題中產(chǎn)生混淆.

二、把抽象轉(zhuǎn)化為具體

教育家杜威曾說：“教學(xué)絕對不僅僅是簡單地告訴，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗，一種感悟.”對于排列組合的應(yīng)用題，學(xué)生覺得比較難，主要還是因為排列組合的抽象性.如果能把抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得具體形象起來，把問題與學(xué)生的生活緊密聯(lián)系，就能使學(xué)生體驗到生活中的數(shù)學(xué)是無處不在的，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和解決實際問題的能力.如對于這樣的問題：4名同學(xué)分別報名參加學(xué)校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的1個運動隊，不同的報名方法種數(shù)是多少？剛開始解決這類問題時學(xué)生老弄不清是34還是44.我是這樣處理的：在講臺上準(zhǔn)備3個盒子，分別寫上足球隊、籃球隊、乒乓球隊，先讓一名學(xué)生上來選隊，選上哪個隊就把紙團扔到哪個盒子里，問：1號同學(xué)有幾種選擇？生：3種.師：完成選球隊這件事了嗎？生：沒有.師：2號同學(xué)上來選.通過這樣的過程，學(xué)生知道每個同學(xué)都有3種選擇，只有當(dāng)4位同學(xué)都選完球隊后才完成這件事，根據(jù)分步計數(shù)原理，得3×3×3×3，即34.這樣做不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氣氛.同時，學(xué)生也能順利地解決這個問題.又讓學(xué)生做鞏固練習(xí)：汽車上有乘客10人，沿途有5個車站，問乘客下車的方式有幾種？有些學(xué)生能迅速地得到答案，有些學(xué)生覺得難以下手.我對一個學(xué)生說：假設(shè)你在車上，可以有幾種下車方式？通過引導(dǎo)，最后大部分學(xué)生都可以得到正確的答案.由此可見，對于排列組合中的許多抽象問題，讓學(xué)生變成題目當(dāng)中的人，使學(xué)生身臨其境，成為解決問題的決策者，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體意識和主觀能動性，能讓學(xué)生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律，達到解決問題的目的.

三、注意解題方法、解題策略的歸納總結(jié)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)是人們頭腦中的知識結(jié)構(gòu)，它具有整體性和概括性.認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性越強、概括水平越高，就越有利于學(xué)習(xí)的保持與遷移.經(jīng)常有學(xué)生說：上課聽得懂，但課后不會做.這些學(xué)生在解題過程中，不會利用或利用不好已學(xué)的相關(guān)知識，找不到解題途徑或解題方法，以致解題速度不快、解答過程繁雜、解答結(jié)果出現(xiàn)重復(fù)或漏缺等.這時需要教師引導(dǎo)學(xué)生進行必要的反思，提升學(xué)生的解題能力.不能就題論題，問題解決后要引導(dǎo)學(xué)生進行必要的總結(jié).如，有限制條件的排列問題的解題策略：特殊位置、特殊元素要優(yōu)先考慮；相鄰問題先捆后松，不相鄰問題見空插入，分組問題等.通過例題的講解再加以概括，使學(xué)生真正掌握解題的策略.如：7人站成一排，甲不站兩端，有幾種站法？引導(dǎo)學(xué)生明白7人排隊，與順序有關(guān)，這是一個有條件限制的排列問題，可以通過分步及排列知識來解答.不少學(xué)生先考慮甲，有5個位置可以站，其他6個人可以隨便地站6個位置，得到A15A66；師：可以先考慮前后兩個位置嗎？由學(xué)生思考，回答：前后兩個位置可以由甲以外的6個人中選兩個來排，其他5個位置由包括甲等5人來排，共有A26A55；讓學(xué)生比較兩種解法，并發(fā)現(xiàn)其結(jié)果是一樣的.前一種方法考慮人（元素），后一種方法考慮位置.教師歸納出特殊元素法和特殊位置法.在巡視和學(xué)生回答的過程中發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生先考慮甲站在哪，又考慮前后兩個位置可以站什么人，出現(xiàn)了思維混亂.強調(diào)：在解題過程中，應(yīng)以某一元素（或位置）為軸心展開討論，不能一會以這個元素來展開，過一會又以位置來展開，這樣會造成思路不清，引起重復(fù)或遺漏.再如：

【例3】（2012年高考遼寧理，5）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐一起，則不同的坐法種數(shù)為（）.

A.3×3！B.3×（3！）3

C.（3！）4D.9！

這是一個很典型的相鄰問題，告訴學(xué)生：要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其他元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.解決方法是先把三個家庭捆起來成為3個元素進行排列，有3！種排法，再把每個家庭的人松開進行排列，共有（3！）3種，所以最后答案（3！）4.還有組合中的分組問題是學(xué)生比較容易弄錯的問題，如：6本書平均分為3組有幾種分法？剛得到這道題，不少學(xué)生就迅速回答：C26C24C22，這時，我讓學(xué)生把a、b、c、d四個字母平均分成兩組，把所有的情況一一列出，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分組方法如果是C24C22，則每一種都重復(fù)出現(xiàn)了一次，需再除以2.對于6個字母平均分組，如果取C26C24C22，每一種出現(xiàn)了6次，相當(dāng)于三個組進行了排列，所以應(yīng)除以“3！”，引導(dǎo)學(xué)生歸納出：平均分組，則分法=取法/階層.從而強化學(xué)生的記憶.還有枚舉法、間接法等都是排列組合問題中常用的解題方法.

（責(zé)任編輯黃桂堅）