基于線性規(guī)劃的不同項(xiàng)目投資額的確定

摘 要：主要運(yùn)用線性規(guī)劃方法，確定各項(xiàng)目的投資額，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的項(xiàng)目組合，從而滿足投資方收益最大化或風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資目標(biāo)。主要利用了管理運(yùn)籌學(xué)2.0版軟件，求解線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解，并進(jìn)行了靈敏度分析。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；投資額；靈敏度分析

中圖分類號(hào)：F 272 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2013）02-0009-02

引言

投資問(wèn)題主要可以劃分為兩個(gè)主要方面，一個(gè)是投資項(xiàng)目的組合，在多個(gè)項(xiàng)目中選擇效益最大的項(xiàng)目組合；另一個(gè)是如何將既定的資金下分配給已選擇的投資項(xiàng)目，即確定每個(gè)項(xiàng)目的投資額。有很多學(xué)者用不同的方法對(duì)第一個(gè)投資問(wèn)題進(jìn)行了研究，如差異系數(shù)變型模型、均衡理論模型、均值方差模型、風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值法等等，都是用于求使期望收益最大或風(fēng)險(xiǎn)最小的最佳的投資組合，即解決如何選擇項(xiàng)目的問(wèn)題。對(duì)第二個(gè)投資問(wèn)題，研究成果很少。本文主要以某個(gè)部門(mén)的項(xiàng)目投資為例，在已知每個(gè)項(xiàng)目的投資方式、投資收益和風(fēng)險(xiǎn)和投資總額的基礎(chǔ)上，運(yùn)用線性規(guī)劃的方法研究如何確定每個(gè)項(xiàng)目的投資額，以滿足投資者效益最大化或風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資目標(biāo)。

一、線性規(guī)劃模型的評(píng)價(jià)

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要的分支，運(yùn)用十分廣泛。該方法主要解決在滿足一定約束條件的基礎(chǔ)上，決策變量如何取值，使目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最大值的問(wèn)題。線性規(guī)劃的決策變量是可控的連續(xù)變量，目標(biāo)函數(shù)和約束方程都是線性的。

基本假設(shè)：

1.每種經(jīng)營(yíng)活動(dòng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)是一個(gè)常數(shù)；

2.每個(gè)決策變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的和約束方程的影響是獨(dú)立于其他變量的，目標(biāo)函數(shù)值是每個(gè)決策變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)貢獻(xiàn)的總和；

3.決策變量應(yīng)取連續(xù)值；

4.所有的參數(shù)都是確定的參數(shù)，不含隨機(jī)因素。

線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式：

maxZ=

st： （i=1，2，….，n）

0 （j=1，2，.…n）

二、問(wèn)題的提出及解決

現(xiàn)在，用線性規(guī)劃方法來(lái)確定一公司某部門(mén)的不同投資項(xiàng)目投資額。

該部門(mén)現(xiàn)有資金200萬(wàn)元，今后五年內(nèi)考慮以下的項(xiàng)目投資：

項(xiàng)目A：從第一年到第五年每年年初都可以投資，當(dāng)年末能收回本利110%；

項(xiàng)目B：從第一年到第四年每年年初都可以投資，次年末收回本利125%；

項(xiàng)目C：第三年初需要投資，到第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過(guò)80萬(wàn)元；

項(xiàng)目D：第二年初需要投資，到第五年末收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過(guò)100萬(wàn)元。

據(jù)測(cè)定每次投資1萬(wàn)元的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如表一所示：

我們要解決的問(wèn)題是，如何確定這些項(xiàng)目每年的投資額，從而使得第五年末擁有的資金的本利金額最大；為使第五年末擁有的資金的本利在330萬(wàn)元的基礎(chǔ)上總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)最小，又應(yīng)該怎樣確定這些項(xiàng)目每年的投資額。

對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)它滿足線性規(guī)劃的四條基本假設(shè)。下面我們用線性規(guī)劃的方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解。

1.確定變量

設(shè)i為第i年初投資于項(xiàng)目j的金額（單位：元），根據(jù)給定條件，將變量列于表2中。

2.約束條件

因?yàn)轫?xiàng)目A每年都可以投資，并且當(dāng)年末都能收回本息，所以該部門(mén)每年都應(yīng)該把金子投出去，手中不應(yīng)該有剩余的呆滯資金，因此，

第一年：該部門(mén)年初有資金200萬(wàn)元，固有x1A+x1B=200；

第二年：因第一年給項(xiàng)目B的投資要到第二年末才能收回，所以該部門(mén)在第二年初擁有的資金僅為項(xiàng)目A在第一年投資額所收回的本息110%x1A，固有x2A+x2A+x2D=1.1x1A；

第三年：第三年初的資金額是從項(xiàng)目A第二年投資和項(xiàng)目B第一年投資所收回的本息總和1.1x1A+1.25x1B，固有 x3A+x3B+x3C=1.1x1A+1.25x1B；

第四年：同以上分析，可得x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；

第五年：x5A=1.1x4A+1.25x3B。

另外，對(duì)項(xiàng)目B，C，D的投資額的限制有

xiB≤30 （i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100

3.目標(biāo)函數(shù)

要求在第五年末該部門(mén)所擁有的資金額達(dá)到最大，即目標(biāo)函數(shù)最大化，則可以表示為

maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D

這樣可以得到如下的數(shù)學(xué)模型：

maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D

約束條件：x1A+x1B=200；x2A+x2B+x2D=1.1x1A；x3A+x3B+x3C=1.1x1A+

1.25x1B；x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；x5A=1.1x4A+1.25x3B；xiB≤30（i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100；xij≥0。

用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件求得此問(wèn)題的解：

x5A=33.5，x4B=30，x3C=80，x2D=100，x1A=170，x1B=30，x2A=57，x2B=30，x3A=0，x3B=20.2，x4A=7.5。

這時(shí)第五年末擁有的資金本利（即目標(biāo)函數(shù)的最大值）為341.35萬(wàn)元，用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件所求的結(jié)果如圖1。

其中，x1A=x1；x2A=x2；x3A=x3；x4A=x4；x5A=x5；x1B=x6；x2B=x7；x3B=x8；x4B=x9；x3C=x10；x2D=x11

為使第五年末擁有的資金的本利在330萬(wàn)的基礎(chǔ)上總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)最小，這些項(xiàng)目每年的投資額的確定方法同上，只是目標(biāo)函數(shù)發(fā)生了變化，多了一個(gè)約束條件，第五年擁有的資金的本利要在330萬(wàn)元以上，同樣用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件可以求得最優(yōu)解和最小的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。

三、靈敏度分析

利用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的計(jì)算結(jié)果中的對(duì)偶價(jià)格、目標(biāo)函數(shù)系數(shù)范圍、常數(shù)項(xiàng)系數(shù)范圍，進(jìn)行進(jìn)靈敏度分析。

由對(duì)偶價(jià)格欄可知，第一年初增加或減少投資1萬(wàn)元，將導(dǎo)致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.664萬(wàn)元，第一年投資額為200萬(wàn)元；第二年初增加或減少1萬(wàn)元，將導(dǎo)致第五年末擁有的資金本利增加或減少1.513萬(wàn)元，第二年的投資額來(lái)自第一年投資于項(xiàng)目A而收回的100%的本利。同樣可知，第三年初、第四年初、第五年初增加或減少投資1萬(wàn)元，將導(dǎo)致第五年末擁有的資金本利分別增加或減少1.375萬(wàn)元、1.210萬(wàn)元、1.1萬(wàn)元。從第六個(gè)至第九個(gè)約束方程的對(duì)偶價(jià)格中可知，如果第一年、第二年、第三年、第四年項(xiàng)目B的投資額的限制放松或收縮1萬(wàn)元指標(biāo)，將導(dǎo)致第五年末擁有的資金的本利分別增加或減少0.055萬(wàn)元、0萬(wàn)元、0萬(wàn)元、0.040萬(wàn)元。從第十個(gè)和第十一個(gè)約束方程對(duì)偶欄可知，項(xiàng)目C和項(xiàng)目D的投資額的限制放松或收縮1萬(wàn)元指標(biāo)，將導(dǎo)致第五年末擁有的資金的本利分別增加或減少0.025萬(wàn)元、0.037萬(wàn)元。

由目標(biāo)函數(shù)中變量系數(shù)的變化范圍可知，當(dāng)x5A，x4B，x3C和x2D中的一個(gè)變量在此范圍里變化時(shí)，即項(xiàng)目A的第一年、項(xiàng)目B的第四年、項(xiàng)目C的第三年、項(xiàng)目D的第二年投資在第五年末的收回本利的百分比中的一個(gè)在次范圍里變化時(shí)，最優(yōu)解保持不變。超出這個(gè)范圍就要重新建模求解。例如在這個(gè)范圍變化0≤x5≤1.12，其他的變量保持不變，那么最優(yōu)解不變。當(dāng)幾個(gè)系數(shù)同時(shí)變化時(shí)要用百分之一百法則來(lái)判斷，即各個(gè)變量的允許增加或減少的百分比之和，如果小于百分之百的話，最優(yōu)解不變；如果大于百分之一百的話，需要重新建模求解。需要說(shuō)明的是x1A，x1B，x2A，x2B，x3A，x3B，x4A的系數(shù)都為零，主要是把這些變量的投資回收本利的百分比對(duì)第五年的貢獻(xiàn)都體現(xiàn)在約束條件里，而沒(méi)體現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)中，所以沒(méi)法用其目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)對(duì)其進(jìn)行收回本利百分比的靈敏度分析。

以常數(shù)項(xiàng)變化范圍一欄可以得到保持對(duì)偶價(jià)格不變的約束條件中常數(shù)項(xiàng)的變化范圍，當(dāng)某一個(gè)約束條件的常數(shù)項(xiàng)在此范圍里變化而其他約束條件的常數(shù)項(xiàng)不變時(shí)，對(duì)偶價(jià)格不變。例如，第一年初現(xiàn)有資金為190萬(wàn)元，從圖1中可知，190萬(wàn)元處于保持對(duì)偶價(jià)格不變的約束條件的常數(shù)項(xiàng)的變化范圍內(nèi)，故可以從對(duì)偶計(jì)算出第五年末所擁有的資金的本利總數(shù)為 341.35-（200—190）*1.664=324.71（萬(wàn)元）；同樣，當(dāng)變化超過(guò)了常數(shù)項(xiàng)的變化范圍，需要重新建模。當(dāng)幾個(gè)約束條件的常數(shù)項(xiàng)同時(shí)變化時(shí)，則用百分之一百法則來(lái)判斷。

四、結(jié)論

利用線性規(guī)劃的方法，通過(guò)建模求解，我們得到了該部門(mén)投資的最優(yōu)方案，即第一年給項(xiàng)目A投資170萬(wàn)元，給項(xiàng)目B投資30萬(wàn)元；第二年給項(xiàng)目A投資57萬(wàn)元，給項(xiàng)目B投資30萬(wàn)元，給項(xiàng)目D投資100萬(wàn)元；第三年，項(xiàng)目A不投資，給項(xiàng)目B投資20.2萬(wàn)元，給項(xiàng)目C投資80萬(wàn)元；第四年，給項(xiàng)目A投資7.5萬(wàn)元，給項(xiàng)目B投資30萬(wàn)元；第五年，給項(xiàng)目A投資33.5萬(wàn)元。 通過(guò)靈敏都分析，我們還可以得到，每一年各個(gè)項(xiàng)目的投資額在某個(gè)范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，并不影響最終最優(yōu)的投資效果。用同樣的方法可以求得最小風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)的最優(yōu)投資方案。