方便快捷的快速積分法

摘 要 文章給出了一類積分求原函數的方法，結合實例說明了這一方法的有效性，為求解此類積分問題提供了快捷的方法。

關鍵詞 原函數 分部積分法 不定積分 定積分

中圖分類號：O172.5 文獻標識碼：A

The Way of Quickly Integral

Abstract A way of finding primitive function is given， the efficiency is illustrated by some examples， and it provides a quickly way to solve these kinds of integral questions.

Key words primitive function； integration by parts； indefinite integral； definite integral

分部積分法是高等數學中一個最基本、最重要的運算，這個法則的運用對于剛開始學習積分法的學生來說，往往感到很困難。雖然在教學中，教師對其基本的法則會進行適當的總結，幫助學生掌握其運算技巧，但在一些題目中，分部積分法往往要用到多次，計算起來比較麻煩，還容易出錯，如何根據積分的具體特點，以簡捷的步驟得出結果是很重要的。本文將根據一些積分計算的例子，對一類特殊類型的積分，給出求解的積分技巧。當然這些技巧的掌握，主要還是依賴于對微分基本公式和積分基本公式的熟練掌握。首先，還是讓我們先熟悉一下常用的分部積分公式：①

設函數 = （）， = （）都有連續的導數，則 =

若函數 = （）， = （）在區間[]上有連續導數，則 =

例1 利用分部積分公式，計算不定積分。

解： = （）

= （）（）

= （） （）

= （）（）+（）

= （）（）+（）

= （）（）+（）6（）

= （）（）+（）6 （）

= （）（）+（）6（） +

（1）

整理得 = + + 。

通過觀察不難發現，在積分過程中，選擇多項式函數為（），另一函數湊微分成，在積分結果（1）式中，如果忽略各項的符號，則從第二項開始，后面的各項所含的多項式就是前一項多項式（）的導數，而另一函數為（）的積分，各項符號正負相間。按此方法可直接寫出本例中的積分結果（1），此方法我們稱之為快速積分法。

一般地，形如，，，（其中≠0，為次多項式）的積分，都可采用快速積分法。

例2 求不定積分（）

解：原式 = （）

= （） （）（） + 2（） +

= （） + 2（） +

例3 求不定積分。

解：原式 = （）

= （） （） + 2（） +

= + +

有些積分，經過換元后，化成上述類型，也可一次寫出結果。

例4

解：令 = ，則

原式 =

=

= （）

= （）（） + 2（） +

= + +

= + +

= （ + ）+

在計算定積分的過程中，用快速積分法找到被積函數的原函數后，可直接用牛頓-萊布尼茲公式求得積分結果，避免反復用分部積分公式求解。

例5 計算定積分

解：

= 2

= 2（）

= 2 （）（） + 20（） 60（） + 120（）120（）

= 2[ + + ]

= + +

例6 計算定積分（2010年考研數學一試題）

解：令 = ，則

原式 = ··

= 2

= 2

= 2

= 2[] =

在微分方程中，遇到此類積分同樣可以快速求得積分結果。

例7 求微分方程 + = 的通解。

解： = （ + ）

= （ + ） = （ + ）

= （）

要學好高等數學就必須掌握一定的解題方法和技巧，本文僅是對求解一類積分問題探討了其運算的技巧，希望能起到拋磚引玉的作用。

注釋

① 趙樹嫄.微積分[M].北京：中國人民大學出版社，2008：246-248.