巧用數學思想解答數列問題

〔關鍵詞〕 數學教學；數學思想；數列；應用

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）01—0079—01

1.歸納思想

歸納思想是數列學習過程中的重要思想方法之一，教師要重視學生觀察、發現、猜想、歸納等學習過程的體驗，強調歸納思想的具體運用.

例1 寫出數列13+2，13+6，13+12，13+20，13+30……的一個通項公式，并驗證2563是否為該數列中的一項.

解：數列每項由兩個數的和組成，第1個數都是13，第2個數分別為2，6，12，20，30，……，都是兩個連續自然數的乘積：1×2，2×3，3×4，4×5，5×6…….

∴該數列的通項公式為an=13+n（n+1）（n∈N+）.

令13+n（n+1）=2563，即n2+n-2550=0，解得n=50或n=-51（舍去）.

∴2563是該數列中的項且為第50項.

方法點撥：解這類問題就是要觀察各項與對應序號之間的聯系，利用我們熟知的一些基本數列進行合理地聯想.

2.方程思想

方程思想主要是解決數列中有關數量關系探究方面的問題，特別是等差數列a1，an，n，Sn，d或等比數列a1，an，n，Sn，q中“知三求二”問題都是利用了方程思想.

例2 已知等差數列{an}中，a1+a4+a7=15，a2a4a6=45，求數列的通項公式.

解：∵a1+a7=2a4=a2+a6， ∴a1+a4+a7=3a4=15， ∴a4=5.

∵a2+a6=10且a2a6=9.

∴a2和a6是方程x2-10x+9=0的兩根，

解得a2=1，a6=9或a2=9，a6=1.

若a2=1，a6=9，則d=2.∴an=2n-3.

同理可得：若a2=9，a6=1時，d=-2，∴an=13-2n.

綜上所述，an=2n-3或an=13-2n.

方法點撥：解此類問題的一般思路是根據等差數列的性質，若m+n=p+q，則am+ an=ap+aq .特例若m+n=2p則am+ an=2ap，m、n、p、q∈N+，通過列方程和方程組求解.

3.數形結合思想

數形結合思想在數列概念的引入及其簡單表示方面有具體應用，等差數列、等比數列中有關問題的研究，很多都是借助（函數）圖象的背景來研究的.

例3 等差數列{an}中，Sn是它的前n項和，a5=10，S3=3，求證：數列{Sn}是單調遞增數列.

證明：設等差數列{an}的公差為d，則a1+4d=10，3a1+3d=3，解得a1=-2，d=3.

方法點撥：解此類題實際上是研究Sn隨n的變化規律.由于等差數列中Sn是關于n的二次函數，可以用二次函數的方法處理.具體方法就是將Sn寫成Sn=na1+■，根據二次函數的圖象，若a1＞0， d＜0，則Sn必有最大值；若a1＜0， d＞0，則Sn必有最小值.最后利用二次函數圖象的對稱性來確定n的值.

4.函數思想

數列與函數有著密切的關系，因而，我們可以利用函數的思想來解決數列問題.

例4 已知數列{an}的首項a1=21，前n項和Sn=an2+bn，等比數列{bn}的前n項和Tn=2n+1+a，則Sn的最大值為 .

解：由等比數列{bn}的前n項和Tn=2n+1+a，易得它的公比不是1.

∵Tn=2×2n+a，∴a=-2，∴Sn=-2n2+bn，

∴數列{an}為等差數列.

又∵a1=21，Sn=-2n2+bn，故b=21-（-2）=23，

∴Sn=-2n2+23n=-2（n-■）2+■.當n=6時，Sn取得最大值66.

方法點撥：在求Sn的最大值時，也可結合二次函數y=-2x2+23x的圖象，在對稱軸x=■的附近有兩個正整數5和6.因為6離對稱軸較近，所以當n=6時，Sn取得最大值.將n=6代入Sn=-2n2+23n即可求出Sn的最大值.

編輯：謝穎麗