數(shù)學(xué)樣例設(shè)計(jì)的策略

樣例又稱例子或范例，是一種能夠例說或表征較為抽象的概念原理的相對具體的實(shí)體，能夠展示同一類事物性質(zhì)的樣本或值得模仿的榜樣.樣例在原理學(xué)習(xí)與遷移過程中的作用是當(dāng)前研究學(xué)習(xí)遷移問題的熱點(diǎn)之一.

樣例學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者通過研習(xí)樣例而習(xí)得專家的問題解決方法的一種學(xué)習(xí)方式.“樣例學(xué)習(xí)”在數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演了十分重要的角色.數(shù)學(xué)樣例是數(shù)學(xué)問題及其解答的組合體，或者是一個數(shù)學(xué)概念、公式或原理的一個具體“實(shí)體”對象.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教會學(xué)生懂得如何解決問題，習(xí)得問題解決技能，促進(jìn)問題解決的遷移，形成有效的數(shù)學(xué)遷移，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，是我們教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)樣例的目的.

一、精于樣例問題的組織形式和呈現(xiàn)方式，減輕學(xué)生解決問題的負(fù)擔(dān)

維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論認(rèn)為，在學(xué)生實(shí)力所能達(dá)到的水平與經(jīng)過別人給予協(xié)助可能達(dá)到的水平之間有一段差距，這就是該學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論在教學(xué)上具有重要的意義，教學(xué)的最佳效果產(chǎn)生于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).它為我們的樣例設(shè)計(jì)提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).因此，我們在引導(dǎo)學(xué)生習(xí)得問題類型的解決方法時，要從學(xué)習(xí)記憶承受負(fù)荷的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，精設(shè)樣例問題的組織形式和呈現(xiàn)方式.在此過程中，教師要給予學(xué)生“支架作用”的協(xié)助，選擇階梯式的方式來處理問題，將其設(shè)置成幾個小問題，在內(nèi)容和要求上要注意循序漸進(jìn)、由易到難，同時也要注重前后問題之間知識的邏輯連續(xù)性， 用具有逐層遞進(jìn)關(guān)系的小問題解決大問題，從而減輕認(rèn)知負(fù)荷，并從中掌握問題類型的解決方法.

案例一：大邊相等、小邊相等全等三角形對應(yīng)邊夾角的求法.

例：如圖，△OAB和△OCD都是等邊三角形，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，BD與CO相交于點(diǎn)F，連結(jié)BC.（1）求證：△BOD≌△AOC；（2）△CFE∽△DFO；（3）求∠CED的度數(shù).

當(dāng)學(xué)生完成題目后，教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)該題目的條件、問題、圖形三方面的特征，并讓學(xué)生歸納出該模型的解決方法：關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)大邊相等、小邊相等的全等三角形，找出夾角所在的三角形，再利用兩線相交對頂角相似的基本圖形，找出其相似三角形，得到夾角的相似對應(yīng)角，進(jìn)而求得夾角的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：此類型的最后目的是求全等三角形對應(yīng)邊的夾角.教師通過將大問題降低難度，分解成幾個小問題，給學(xué)生架了一個階梯，幫學(xué)生迅速解決問題，更重要的是學(xué)生通過經(jīng)歷問題類型的解決過程，能較輕易地找到問題的解決方法，減輕了認(rèn)知負(fù)荷，提高了學(xué)習(xí)效率.

二、精于滲透幾何基本圖形，提高學(xué)生順向推理的問題解決技能

問題解決過程中，“手段—目的”分析策略的應(yīng)用會抑制圖式的獲得，而自動化的圖式在工作記憶中是作為一個組塊存儲的，就像計(jì)算機(jī)傳輸打包處理的壓縮文件一樣，會大大減少工作記憶的負(fù)荷.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對圖式、產(chǎn)生式條件部分的認(rèn)知，將零碎的圖式、產(chǎn)生式模塊化，使學(xué)生發(fā)展出順向推理的問題解決技能，即獲取自動化的圖式和產(chǎn)生式系統(tǒng)，從而減輕認(rèn)知負(fù)荷，加快認(rèn)知速度，提高學(xué)習(xí)的效率.

幾何圖形千變?nèi)f化，初三的學(xué)生學(xué)習(xí)完四邊形這一章后，面對幾何題目常常束手無策、一籌莫展.針對這一現(xiàn)象，我們可以采用“基本圖形法”來幫助學(xué)生提高分析復(fù)雜圖形的能力.

平面圖形可以通過各種不同圖形的組合而產(chǎn)生無窮變化，但任何一個圖形往往都是由一個或若干個最基本的圖形組合而成的， 因此可以從研究基本圖形的性質(zhì)、應(yīng)用范圍入手， 來分析或解決復(fù)雜問題，這種方法就是基本圖形法.它可以有效地揭示規(guī)律， 克服學(xué)生“幾何難學(xué)”的恐懼心理，也使平面幾何教學(xué)擺脫了困境.

案例二：幾何圖形的拆分.

例1：四邊形ABCD中，對角線AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).判斷：四邊形EFGH是何種特殊四邊形？請你證明.結(jié)論： 的中點(diǎn)四邊形是菱形.

例2：如圖，△OAB和△OCD都是等邊三角形，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC.求證：AC=BD.

例3：如圖，P是線段AB上方的一點(diǎn)，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H.猜想四邊形EFGH的形狀，并證明.

教完中點(diǎn)四邊形這一模塊后，教師可出示例1、例2（這一圖形在第一章大量出現(xiàn)，學(xué)生并不陌生），再出示例3，并鼓勵學(xué)生對例3的圖形進(jìn)行拆分，找出圖中自己所熟悉的圖形.基于例1、例2，學(xué)生很快能找到他們熟悉的圖形，并能根據(jù)例1、例2的基本圖形特征及相應(yīng)的解決方法將原題進(jìn)行拆分，得到兩個基本圖形，并運(yùn)用與之對應(yīng)的解決方法找到例3的證明思路.

設(shè)計(jì)意圖：先設(shè)計(jì)例1、例2兩道簡單的題目，目的是讓學(xué)生記住其基本圖形的性質(zhì)和特點(diǎn)；然后再出示例3這道比較復(fù)雜的題目， 讓學(xué)生對這道題目的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤治龊吞釤挘嬲J(rèn)出例1、例2的基本圖形， 或者構(gòu)造出它們的基本圖形；從而根據(jù)基本圖形的性質(zhì)， 擇取有用的信息和結(jié)論， 迅速地找到證題思路和證題方法，讓學(xué)生感受基本圖形對幾何證題的作用，培養(yǎng)學(xué)生對幾何圖形的拆分能力，提高學(xué)生順向推理的問題解決技能.

三、精于變式題組的設(shè)計(jì)，提高學(xué)生問題解決的遷移能力

在樣例學(xué)習(xí)中至少應(yīng)該向?qū)W習(xí)者提供兩個以上的樣例，學(xué)習(xí)效果才會較好.樣例中變式的增加可能促進(jìn)圖式和遷移的獲得，因此設(shè)計(jì)出有利于學(xué)生把握問題性質(zhì)特征的系列樣例，促進(jìn)學(xué)生的問題解決遷移是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的主要手段.

我們可以先對樣例中某個關(guān)鍵的表面特征進(jìn)行變異，引起學(xué)生對該特征的重視，并對問題的類型進(jìn)行類比，從而找到解決問題的恰當(dāng)方法.然后教師再引導(dǎo)學(xué)生利用表面相似這個“相同中的不同”找出源問題所要體現(xiàn)的知識點(diǎn)和思想方法.與此同時，問題類型的相似使得學(xué)生模仿這種解題思路，并運(yùn)用于具體的新問題中.而且學(xué)生將逐漸變得有心得和自信，能夠逐步擯棄表面特征繼而轉(zhuǎn)入根據(jù)結(jié)構(gòu)特征對問題進(jìn)行類比、歸納，促進(jìn)圖式和遷移的獲得.

案例三：判斷全等或相似的兩個直角三角形斜邊互相垂直的變式設(shè)計(jì).

例1：如圖，把兩個含有45°角的直角三角板如圖放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F. 試猜想AD與BE的位置關(guān)系，并給出證明.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析圖式特征，找到相似的類型問題（案例一之例題），運(yùn)用其解決原理解決上例，并引導(dǎo)學(xué)生明確：證兩對應(yīng)斜邊垂直，關(guān)鍵是找出斜邊夾角所在的三角形，再利用兩線相交對頂角相似的基本圖形，找出其相似三角形.

例2：如圖3，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，EF⊥FP，且EF=FP·EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ.試猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明.

分析：證夾角∠PMB所在三角形的對頂角三角形相似 .

例3：如圖，把兩個含有30°角的直角三角板如圖放置，點(diǎn)D在BC上， 連結(jié)BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F.問AF與BE是否垂直？并證明.

條件的改變不代表目的的改變，45°的三角板變?yōu)?0°的三角板同樣給出信息：兩對直角邊的比例：=，將該比例進(jìn)行變形：=，可找到△BEC∽△ADC，得∠EBC=∠DAC，同樣達(dá)到證對頂角三角形相似的目的.

例4：如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC.（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2， 連接AE和 GC.你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

分析：想辦法證兩斜邊夾角所在三角形的對頂角三角形相似.

設(shè)計(jì)意圖：①例2通過改變題目的表面特征，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生識別模型的能力和問題解決方法的運(yùn)用，用“量”的積累達(dá)到知識的記憶與鞏固.②例3通過改變題目的結(jié)構(gòu)特征，保留了源問題的本質(zhì)特征，幫助學(xué)生將問題的本質(zhì)特征從圖形中提煉出來，達(dá)到了對“源問題”質(zhì)的理解.③例4的綜合變式練習(xí)，通過對數(shù)學(xué)模型的拓展、延伸，能完全促進(jìn)學(xué)生圖式和遷移的獲得，促進(jìn)了有效學(xué)習(xí)的發(fā)生.

“樣例”以其顯著的優(yōu)點(diǎn)，以及其在解決問題中的重要作用在教學(xué)中頗受青睞.數(shù)學(xué)樣例清除了抽象的數(shù)學(xué)理論架構(gòu)和人們認(rèn)知之間產(chǎn)生的隔閡，將所教學(xué)的知識串起來，易化了知識的獲得過程，大大減輕了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，讓學(xué)生好學(xué)、好記、好用，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，從而促進(jìn)學(xué)生問題解決技能的獲得及學(xué)習(xí)的有效遷移，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事半功倍.

責(zé)任編輯 羅 峰