讓小題大作時，大題也在小作

在日常生活中，許多不起眼的物件，到了慧眼匠心的人那里，就看出了內涵和門道，若再經過精心雕琢，這些小物件便會改頭換面，閃爍出不一樣的光芒。其實，課堂教學何嘗不是如此！在我們日常使用的教科書中，就散落著許多未經雕琢、“平淡無奇”的素材，其中尤以習題最為典型。數學教師的一個重要使命，就是用自己獨到的眼光，讀出這些習題的內涵，挖掘其價值，進而施展出教學上的空空妙手，去小題大作或大題小作，激蕩出隱藏在題目內部的智慧來。下面，以對蘇教版教科書六年級下冊27頁練習七中的一道題的處理來談談筆者這一方面的體會。

事實上，這道題如果直接呈現，讓學生操練，那么這道題就簡化成為公式的機械套用和演練。不過如果秉持立足基礎、著眼發展的理念，就另有一番天地。

1. 估一估，哪杯飲料多一些？

師：只許你看一眼，你覺得哪個杯里的飲料最多？

生：第三杯。

師：為什么？

生：第三杯內的飲料比第二杯和第一杯的飲料高得多，所以我覺得第三杯的飲料最多。

師：有沒有不同意見？

大部分學生選擇第三杯，少數幾個學生選擇第二杯。

師：要想知道自己的直覺準不準，怎么辦？

生：算一算，最后的結果大的那一杯里的飲料多。

2. 算一算，你的估計準不準？

學生用計算器計算（略）。

師：結果出來了沒有？

生：第一杯飲料的容積是200.96毫升，第二杯飲料的容積是197.82毫升，第三杯飲料的容積是196.25毫升。因為200.96>197.82>196.25，所以第一杯里的飲料最多。

師：為什么第三杯內的飲料最高，杯子里的飲料反而最少？

生：因為杯子里的飲料的多少不僅和飲料的高度有關，而且和杯子的半徑有關。根據圓柱的體積公式V=？仔r2h，我們可以知道，在計算圓柱體的體積時高只算了1次，而半徑連乘了2次，所以杯子的底面直徑大更占優勢。

師：是這樣的嗎？

學生齊點頭。

3. 如果不用計算器，你能很快算出哪杯飲料多一些嗎？

師：同學們了不起，非常聰明。老師還想挑戰挑戰同學們。如果不允許你們使用計算器，你們能很快算出哪杯飲料多一些嗎？

讓學生沉思一會后，有幾個學生舉起了手。

師（點撥）：你們覺得計算麻煩，主要是哪里麻煩？

生：一個非整十、整百的數和3.14相乘，計算起來非常麻煩。

教師微笑不語，慢慢地舉手的人多了起來。

生：我有一個想法，這道題只是要我們比較哪一杯飲料最多，并沒有要我們求出每杯飲料的體積。而計算飲料的體積都要乘？仔，既然都乘？仔那么也可以都暫時不乘？仔，這樣只需比較r2h的大小，就可知道哪個杯里的飲料多，哪個杯里的飲料少。

師：這個同學說的是什么意思？老師不大明白，誰能幫老師講講？

生：這個同學實質是利用不等式的一個性質，幾個數如果同時乘或除以相同的一個數（0除外），大的數得到的結果仍然大。

師：哦。這樣，老師明白了。還有沒有人不明白。（全班搖頭）還有沒有不同的想法？

生：我有一個想法，不知對不對。我覺得不必把？仔換成3.14，可以把？仔直接帶到算式中進行運算。第一杯飲料的體積V=？仔×（8÷2）2×4=64？仔；第二杯飲料的體積V=？仔×（6÷2）2×7=63？仔；第三杯飲料的體積V=？仔×（5÷2）2×10=62.5？仔。這樣少了3.14和其它數相乘，即使用口算也能知道哪一杯飲料最多。

師：同學們覺得這個方法怎么樣？

生：我覺得很好，感覺比第一種方法更容易理解。

師：兩種方法各有各的優勢。不過，不急著把？仔換成3.14，讓？仔直接參與運算，這是初中必須要掌握的式的運算，到了初中我們會經常接觸到。同學們在以后的學習中不妨多嘗試著用一用。

小題大作，這在上述案例中體現得尤為突出。具體表現在，針對這一習題，教師沒有以題論題，而是立足基礎，著眼發展，將原本單一的問題分解成幾個層次：估一估，哪杯飲料多一些？算一算，你的估計準確嗎？如果不用計算器，你能很快算出哪杯飲料多一些嗎？顯然，這幾個問題由淺入深，層層遞進。具體地說，第二個問題既是對第一個問題答案的檢驗，更重要的，也是對圓柱體體積公式的深入考量：為什么不對？在追根究底中，學生深刻地懂得了圓柱體的體積既與圓柱體的高有關，更與圓柱體的半徑（或直徑）有關。知其然并且知其所以然，顯然，此時學生思維的著力點就不再局限于公式的簡單運用，而是站在了更高的層次，關注影響體積的各個變量之間的關系。就在學生滿足于自己的發現時，教師又拋出一個問題：“如果不用計算器，你能很快算出哪杯飲料多一些嗎？”“自信—驚詫—突兀—愉悅”，在情感的跌宕起伏中，學生深刻地感受到了智慧的挑戰，體驗到了不斷超越自我的快樂。

眾所周知，式的運算是初中學習的重要內容，是整個代數學習的基礎。從數到式是學生數學學習的重要轉折點（即從算術的學習轉向代數的學習，從對數量的理解轉向對關系的探討），更是學生數學學習上第一次質的飛躍。但是仍有部分小學高年級段甚至已經進入初中的學生對從數到式這次飛躍沒有作好準備。一方面他們既感到好奇，另一方面又感到難于理解。究其原因，這一方面是由于小學高年級段的學生乃至已經進入初中的學生的具體形象思維仍占優勢，另一方面也與學生生活中很少接觸式、很少有機會體驗“式的優越性”有關。難能可貴的是，案例中的教師意識到這一點，讓小題大作時，大題也在小作！“不用計算器很快地比較哪杯飲料多”，這一要求看似突兀，實則巧妙地將“式的運算”這一大的命題巧妙地鑲嵌到了具體的題目之中。而且，由于有前面幾個問題的鋪墊，學生在相互對比中互為論證，為式的的優越性的體驗積累了一次寶貴的經驗。

責任編輯 羅 峰