淺談典型案例的選取在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的重要性

[摘 要]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)開設(shè)的一門重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課，研究的問題與我們的日常生活極其貼近，所以應(yīng)用極其廣泛，因而在教學(xué)過程中選取典型案例成為激發(fā)學(xué)生興趣的關(guān)鍵。本文著重從案例教學(xué)思想來研究如何加強(qiáng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的應(yīng)用性教學(xué)。

[關(guān)鍵詞]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 案例教學(xué) 隨機(jī)現(xiàn)象 啟發(fā)教育

[中圖分類號] G420 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）05-0075-02

一、引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)開設(shè)的一門主要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，與代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支相比，概率論起源比較晚，它是在15世紀(jì)肇事于所謂的“賭金分配問題”，概率論才得以萌芽。但激發(fā)概率產(chǎn)生的這個(gè)問題直到17世紀(jì)才由法國兩大數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)馬解決，直到18、19世紀(jì)概率論才逐漸發(fā)展成為一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它來源于實(shí)際生活，從而具有非常廣泛的應(yīng)用，生活中許多實(shí)際問題都可以用概率統(tǒng)計(jì)的知識加以解決，因而在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中，如何突出該課程本身的特色及特有的思想方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為更好地在教學(xué)中提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，增強(qiáng)學(xué)生的隨機(jī)思想和實(shí)際應(yīng)用能力，顯得尤為重要。本文認(rèn)為，在新知識的教授過程中，典型例題的選取對于新知識的引入、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考問題、解決問題等方面起著非常重要的作用。下面結(jié)合本人的實(shí)際教學(xué)，提出以下幾點(diǎn)關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的見解，希望得到指教和交流，并能有助于教學(xué)。

二、以史實(shí)引出概率背景，培養(yǎng)學(xué)生的興趣

通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)有三個(gè)顯著特點(diǎn)，就是抽象性、邏輯嚴(yán)密性、應(yīng)用廣泛性。數(shù)學(xué)的以上三個(gè)特點(diǎn)是互相聯(lián)系，互相影響，密不可分。

譬如，在概率的定義這一內(nèi)容的講述時(shí)，通過引入Passcle和費(fèi)馬對De·Mere提出的擲色子及賭資分配問題的研究史實(shí)，可以用來加深學(xué)生對概率問題處理中應(yīng)用組合數(shù)學(xué)知識的理解和認(rèn)識。

在大學(xué)里，教師的角色不應(yīng)該是“保姆”，而應(yīng)該是“助產(chǎn)士”，幫助學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行意義建構(gòu)，轉(zhuǎn)換學(xué)生的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的興趣，發(fā)揮學(xué)生富有激情、思維活躍的特點(diǎn)。

三、典型例題的選取，激發(fā)學(xué)生的興趣

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對象是隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)現(xiàn)象在日常的生活中隨處可見，因此，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要把學(xué)生引導(dǎo)到實(shí)際生活中去。案例教學(xué)法就是把實(shí)際生活中的實(shí)際問題作為案例組織教學(xué)材料，通過分析案例，讓學(xué)生參與討論，把所學(xué)的理論知識和實(shí)際生活結(jié)合起來，把抽象的數(shù)學(xué)與生動有趣的案例結(jié)合起來，可以調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。案例教學(xué)法是提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學(xué)方法，它是連接理論與實(shí)踐的橋梁。

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中會遇到來自各個(gè)領(lǐng)域，五花八門的問題，因而也就決定了問題的多樣性、靈活性，自然解決問題也就會比較復(fù)雜，從而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中很難找出各種不同問題的解決思路。自然地有不少學(xué)生在學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)時(shí)，往往會受到已有的經(jīng)驗(yàn)或直覺的影響，對一些隨機(jī)現(xiàn)象的理解有誤，這些錯(cuò)誤的理解將會對他們學(xué)習(xí)概率及數(shù)理統(tǒng)計(jì)產(chǎn)生負(fù)面影響。為消除他們的錯(cuò)誤理解，加深并鞏固所學(xué)的知識，從實(shí)際問題中提煉出一些有代表性的典型例題是非常必要的，這樣一方面可以激發(fā)學(xué)生興趣，另一方面可以啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，培養(yǎng)解決問題的能力，下面簡單介紹幾個(gè)實(shí)際案例。

（一）當(dāng)講授條件概率時(shí)，可選取下面的案例

例如，班長得到一張周杰倫演唱會的票，現(xiàn)有30名同學(xué)欲通過抓鬮方式?jīng)Q定誰得到去現(xiàn)場聽演唱會的機(jī)會，為此設(shè)有30個(gè)鬮，其中只有一個(gè)鬮是這張票。現(xiàn)30名同學(xué)依次從中抓取。對此類問題大部分同學(xué)認(rèn)為，先抓鬮的人比后抓鬮的人得到此票的可能性大，當(dāng)同學(xué)們把注意力都轉(zhuǎn)移到這個(gè)題目的時(shí)候，此時(shí)，可以適當(dāng)?shù)亟o大家一點(diǎn)討論的時(shí)間，然后以提問的方式，用概率論嚴(yán)格地推理證明，在抓鬮過程中，不論先抓還是后抓，其抓到的機(jī)率是相同的。因此，在教學(xué)中教師應(yīng)注意通過準(zhǔn)確、嚴(yán)格的定義及推理正確解釋一些常見的隨機(jī)問題，這也有助于消除學(xué)生在認(rèn)識上存在的誤區(qū)和障礙。

上述例子當(dāng)問題一提出，就會激發(fā)學(xué)生的興趣，面對大部分都是90后的學(xué)生們，要深知他們的喜好，從而案例的選取要充分調(diào)動他們的興致。周杰倫是很大一部分學(xué)生的偶像，并且抓鬮也是日常生活里大家熟悉的事情，因而在這個(gè)背景下講述條件概率使得課堂輕松而有趣，講解生動清晰，自然會收到良好的教學(xué)效果。

（二）當(dāng)講授貝葉斯公式時(shí)，可選取下面的案例

例如，某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04。現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大？現(xiàn)代生活中，絕大部分人都會把身體健康問題列為第一位，目前由于環(huán)境、飲食等各種因素導(dǎo)致了非常多的疾病發(fā)生，雖然醫(yī)學(xué)也在飛速進(jìn)步，但仍然有很多人擺脫不了疾病的困擾，尤其是當(dāng)一提到癌癥這個(gè)字眼的時(shí)候，會引起同學(xué)們的極度重視和興趣。大部分同學(xué)都進(jìn)行過體檢，對于“陽性”這個(gè)詞的含義基本上都不陌生，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)告訴大家，如果癌癥試驗(yàn)反應(yīng)呈陽性的話，基本上就等于宣判了死刑，所以一出現(xiàn)這個(gè)題目大家的興趣就會非常高，因?yàn)樗麄兌计诖Y(jié)果到底是多少？如何從理論上給出證明？當(dāng)運(yùn)用貝葉斯公式得到結(jié)果是10.66﹪時(shí)，大家會非常吃驚，因?yàn)楦罱?jīng)驗(yàn)有非常大的差異，但是這個(gè)例題帶給大家更多的是希望。即使對某種試驗(yàn)反應(yīng)呈陽性也不可怕，患病的機(jī)率并不大，這可以從數(shù)學(xué)的角度給出嚴(yán)格的說明，這也充分體現(xiàn)了概率的廣泛應(yīng)用。

（三）當(dāng)講授均勻分布時(shí)，可選取下面的案例

例如，學(xué)校班車從早上7：00起，每15分鐘來一趟班車，即7：00、7：15、7：30、7：45等時(shí)刻均有班車到達(dá)。如果某同學(xué)等車時(shí)間X是7：00到7：30之間的均勻隨機(jī)變量，試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率。這是與日常生活非常貼近的一個(gè)例子，學(xué)生經(jīng)常穿梭于兩個(gè)校區(qū)，經(jīng)常遇到等班車的問題，因而學(xué)生對該問題非常熟悉，這樣可以充分調(diào)動學(xué)生獨(dú)立思考該問題。對于均勻隨機(jī)變量的概念也可以加深理解，鞏固記憶。

四、結(jié)論

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中，典型例題的選取及講授起著至關(guān)重要的作用，因此必須引起重視。本人認(rèn)為成功的講授某一知識點(diǎn)需要做到下面幾方面的工作：

（一）案例的選取

數(shù)學(xué)例題不勝枚舉，如何選取一個(gè)典型的例題非常關(guān)鍵，這需要教師在日常生活中觀察，搜集與生活貼近，易于學(xué)生理解、接受的問題，這樣有利于調(diào)動學(xué)生獨(dú)立思考的積極性。

（二）巧妙提出要解決的問題

針對本次課所要講授的知識點(diǎn)，要結(jié)合所選例題的內(nèi)容，巧妙地導(dǎo)入本次授課的主題，并且在完全解決了該問題后，一定把相關(guān)知識點(diǎn)作統(tǒng)一說明，讓學(xué)生深入理解理論知識在實(shí)際問題中是如何應(yīng)用的。

（三）認(rèn)真組織討論和總結(jié)

往往數(shù)學(xué)問題解決的思路多式多樣，為了拓寬學(xué)生的思路，在講完例題后，討論和總結(jié)是教學(xué)中至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，也是學(xué)生熟悉、鞏固理論知識的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。要在討論的過程當(dāng)中，鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)言，發(fā)表自己的見解。對于合理的解決方案要予以表揚(yáng)，不合理的要指出問題的所在，這樣能夠活躍課堂氣氛，充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題、解決問題的創(chuàng)新能力。

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