向量教學應注意的問題

向量，具有代數和幾何的雙重屬性，是溝通代數、幾何的橋梁，是重要的數學模型。在高中數學中學習向量有助于學生體會數學與現實生活和其他學科的聯系，理解數學運算的意義及價值，發展運算能力，掌握處理幾何問題的一種方法，體會數形結合思想，增進對數學本質的理解。

一、對向量的初步認識

1.向量具有豐富的物理背景。矢量是物理學研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。如，力、位移、速度等都是矢量。這些量貫穿于物理學的許多分支，都是數學中向量的現實原型，為數學中的向量提供了豐富的物理背景。

2.向量是代數、幾何的研究對象。向量可以進行加、減、數乘、數量積等多種運算，這些運算及其規律使得向量具有一系列豐富的性質。向量可以表示物體的位置，也是一種幾何圖形（有向線段），因而它成為幾何學的基本研究對象。

3.向量是溝通代數、幾何的橋梁。向量作為有向線段，可用來確定位置。但要用向量刻畫幾何圖形的性質，解決幾何中的長度、角度等度量問題，必須通過向量的代數運算才能實現。如，利用向量的數乘運算可以刻畫平行，利用向量的數量積運算可以刻畫垂直、角度、三角函數等。因此，向量集數、形于一身，是數形結合的最好體現。

二、向量的教育價值

1.有助于學生體會數學與現實生活以及其他學科的聯系。向量具有豐富的現實背景和物理背景，它體現了數學與物理的天然聯系。因此，向量的學習，有助于學生認識數學與實際生活以及物理等學科的緊密聯系，體會向量在刻畫和解決實際問題中的作用，并從中感受數學的應用價值。

2.有助于增進學生對數學本質的理解。向量是重要的數學模型，它來源于力、位移、速度等現實原型。向量的學習有助于學生認識數學概念形成過程中的多層次抽象性以及數學運算對于建構數學系統、刻畫數學對象的重要性，進而理解數學的本質。

三、向量教學應注意的問題

《高中數學課程標準》對向量的定位以及對向量的教育價值進行了分析，我認為在向量教學中應注意以下幾個問題。

1.注重向量的物理背景。向量具有豐富的物理背景。力、位移、速度等物理量是向量的原型，這些物理量是學生在日常生活中能夠經常感受到的。在教學中，應注重突出向量的這些物理背景。例如，在引入向量的加法運算時，可以位移的合成為背景，這種方式比較直觀；在引入數與向量的乘法運算時，可以位移的倍數或速度的倍數為背景。位移與速度的倍數仍然表示位移與速度，這樣可使學生對數與向量的數乘運算的結果仍然是一個向量有直觀的認識；在引入向量的數量積運算時，可以力做的功為背景。一個物體受到力F的作用，如果在力的作用方向上發生一段位移S，我們就說這個力對物體做了功。如果力F的方向與位移S的方向相同，則功的大小就等于力F的大小與位移S大小的乘積，即│F│·│S│。如果力F的方向與位移S的方向成θ角，則與位移S方向相同的分力為F1=Fcosθ，物體在力F1的方向上產生了位移S，因而對物體做的功為

│F│·│S│cos θ。總之，力所做的功是一個標量，它是由兩個向量——力和位移所決定的，這正是向量的數量積的意義；在引入向量的一些運算律時，也可以力做功為背景。

2.注重向量的代數性質及其幾何意義。向量的代數性質主要表現在向量的運算及其運算律方面。在向量的教學中，應關注運算的意義和運算律。特別要重視向量的數乘運算、數量積運算與數的乘法運算的區別與聯系，應將向量的運算及運算律與數的運算及運算律進行比較，幫助學生理解向量運算的意義及其運算律，為學生進一步理解其他代數運算奠定基礎。此外，還應注意揭示向量代數性質的幾何意義。向量代數性質的幾何意義對于運用向量刻畫幾何對象是非常重要的。例如，向量的數乘運算λa的幾何意義是與a平行的向量，也可以表示一點和一個方向向量a所確定的直線；兩個不共線向量a與b的線性組合λa+γb表示向量a與b所確定的平面，這就把向量的線性運算與直線、平面聯系起來了。a.a的幾何意義就是向量a的長度的平方，這就把向量的數量積運算與向量的長度聯系起來，從而，也就把向量的數量積運算與兩點間的距離公式聯系起來了。a.b=0的幾何意義是向量a與b垂直，這就把向量的數量積運算與向量的位置關系聯系起來，從而，也就把向量的數量積運算與直線的位置關系以及點到直線的距離聯系起來了。設e是單位向量，則a.e表示向量a在單位向量e上的投影的長度，這就把向量的數量積運算與向量夾角的三角函數聯系起來了。

編輯：劉立英