向量教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題

向量，具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，是溝通代數(shù)、幾何的橋梁，是重要的數(shù)學(xué)模型。在高中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)向量有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義及價(jià)值，發(fā)展運(yùn)算能力，掌握處理幾何問(wèn)題的一種方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

一、對(duì)向量的初步認(rèn)識(shí)

1.向量具有豐富的物理背景。矢量是物理學(xué)研究的基本量之一，它既有大小，又有方向。如，力、位移、速度等都是矢量。這些量貫穿于物理學(xué)的許多分支，都是數(shù)學(xué)中向量的現(xiàn)實(shí)原型，為數(shù)學(xué)中的向量提供了豐富的物理背景。

2.向量是代數(shù)、幾何的研究對(duì)象。向量可以進(jìn)行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等多種運(yùn)算，這些運(yùn)算及其規(guī)律使得向量具有一系列豐富的性質(zhì)。向量可以表示物體的位置，也是一種幾何圖形（有向線段），因而它成為幾何學(xué)的基本研究對(duì)象。

3.向量是溝通代數(shù)、幾何的橋梁。向量作為有向線段，可用來(lái)確定位置。但要用向量刻畫(huà)幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何中的長(zhǎng)度、角度等度量問(wèn)題，必須通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算才能實(shí)現(xiàn)。如，利用向量的數(shù)乘運(yùn)算可以刻畫(huà)平行，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫(huà)垂直、角度、三角函數(shù)等。因此，向量集數(shù)、形于一身，是數(shù)形結(jié)合的最好體現(xiàn)。

二、向量的教育價(jià)值

1.有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系。向量具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景和物理背景，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的天然聯(lián)系。因此，向量的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活以及物理等學(xué)科的緊密聯(lián)系，體會(huì)向量在刻畫(huà)和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，并從中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

2.有助于增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。向量是重要的數(shù)學(xué)模型，它來(lái)源于力、位移、速度等現(xiàn)實(shí)原型。向量的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程中的多層次抽象性以及數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)于建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)、刻畫(huà)數(shù)學(xué)對(duì)象的重要性，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

三、向量教學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)向量的定位以及對(duì)向量的教育價(jià)值進(jìn)行了分析，我認(rèn)為在向量教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

1.注重向量的物理背景。向量具有豐富的物理背景。力、位移、速度等物理量是向量的原型，這些物理量是學(xué)生在日常生活中能夠經(jīng)常感受到的。在教學(xué)中，應(yīng)注重突出向量的這些物理背景。例如，在引入向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以位移的合成為背景，這種方式比較直觀；在引入數(shù)與向量的乘法運(yùn)算時(shí)，可以位移的倍數(shù)或速度的倍數(shù)為背景。位移與速度的倍數(shù)仍然表示位移與速度，這樣可使學(xué)生對(duì)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)向量有直觀的認(rèn)識(shí)；在引入向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，可以力做的功為背景。一個(gè)物體受到力F的作用，如果在力的作用方向上發(fā)生一段位移S，我們就說(shuō)這個(gè)力對(duì)物體做了功。如果力F的方向與位移S的方向相同，則功的大小就等于力F的大小與位移S大小的乘積，即│F│·│S│。如果力F的方向與位移S的方向成θ角，則與位移S方向相同的分力為F1=Fcosθ，物體在力F1的方向上產(chǎn)生了位移S，因而對(duì)物體做的功為

│F│·│S│cos θ。總之，力所做的功是一個(gè)標(biāo)量，它是由兩個(gè)向量——力和位移所決定的，這正是向量的數(shù)量積的意義；在引入向量的一些運(yùn)算律時(shí)，也可以力做功為背景。

2.注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其幾何意義。向量的代數(shù)性質(zhì)主要表現(xiàn)在向量的運(yùn)算及其運(yùn)算律方面。在向量的教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注運(yùn)算的意義和運(yùn)算律。特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的乘法運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)將向量的運(yùn)算及運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算律進(jìn)行比較，幫助學(xué)生理解向量運(yùn)算的意義及其運(yùn)算律，為學(xué)生進(jìn)一步理解其他代數(shù)運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。此外，還應(yīng)注意揭示向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義。向量代數(shù)性質(zhì)的幾何意義對(duì)于運(yùn)用向量刻畫(huà)幾何對(duì)象是非常重要的。例如，向量的數(shù)乘運(yùn)算λa的幾何意義是與a平行的向量，也可以表示一點(diǎn)和一個(gè)方向向量a所確定的直線；兩個(gè)不共線向量a與b的線性組合λa+γb表示向量a與b所確定的平面，這就把向量的線性運(yùn)算與直線、平面聯(lián)系起來(lái)了。a.a的幾何意義就是向量a的長(zhǎng)度的平方，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的長(zhǎng)度聯(lián)系起來(lái)，從而，也就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與兩點(diǎn)間的距離公式聯(lián)系起來(lái)了。a.b=0的幾何意義是向量a與b垂直，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的位置關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，從而，也就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離聯(lián)系起來(lái)了。設(shè)e是單位向量，則a.e表示向量a在單位向量e上的投影的長(zhǎng)度，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量夾角的三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)了。

編輯：劉立英