例談對稱法在物理解題中的妙用

解具有對稱性的問題，如果仍按照常規思維，運用一般的方法，則往往難以求解.若能恰當地運用對稱法，則可以化難為易，順利求解.

例1：沿波的傳播方向有距離小于1個波長的A、B兩點，在t=0時刻，兩點的速度相等，經過時間Δt=0.01s，兩點首次變為加速度相等，已知波長為12m，求波速.

分析：（1）由于A、B兩點速度相等，則此時兩點必然是關于處于平衡位置的質點C0對稱，如圖1或圖1′所示.

（2）當A、B兩點變為加速度相等時，則此時兩點必然是關于處于最大位移的質點C′對稱，如圖2或圖2′所示.

（3）綜合初、末狀態，可畫出圖3或圖3′的波形，A0、B0、C0為A、B、C所對應的平衡位置，由以上對稱性的分析，可知初狀態（圖中實線所示的波形）與末狀態（圖中虛線所示的波形）所經歷的時間正是對稱中心質點C由平衡位置運動到最大位移處所用的時間，即0.01s正是四分之一個周期.

解：由以上分析可知T/4=0.01，則T=0.04s

波速V=λ/T=（12/0.04）m/s=300m/s

對稱性是振動和波動的重要特性.本例應用了對稱法使問題大為簡化，此題若不從對稱性入手分析，則很難求解.

例2：有位牧童在回家之前，先要把牛牽到河邊去飲水，然后再將牛牽回家中.如圖4所示，已知家在位置B，距河岸邊500m，牧童所在位置A與岸邊相距200m，與家相距500m，試問牧童至少要走多少路程才能回到家中（準確到1m），怎么走用時最短？并在圖中作出牧童所走過的最短路線.

分析：這是一道關于路程、速度、時間三者之間關系的問題，只要求出行走最短路程，根據行走速度，可求出所需時間.如圖4所示，假設牧童由A先到達河邊的C1點，然后再回到家中，那么牧童走過的路程應為AC1+ C1B.我們以河岸邊為對稱軸，作出B點的對稱點B′，由對稱性可知C1B=C1B′.也就是說，牧童走過的路程相當于從A走到C1，再從C1走到B′所走的路程.至此，我們不難在圖中畫出最短行程路線：先把A與B′用直線相連，交岸邊于C點（CB′用虛線相連），然后再將C與B用直線連接，如圖4所示，牧童由A經C再到B，即為其所走路程最短的路線.

在以上分析的基礎上，我們利用勾股定理，不難求出牧童所走的最短路程為806m，即牧童至少要走806m的路程才能回到家中.如果牛的行走速度為2.5m/s，約需要5.4min就可到家.

從以上兩例可以看出，直觀、便捷是對稱法解題的突出特點，對具有對稱性的問題，我們可以先嘗試依據對稱規律進行圖解，巧妙轉化，往往能化難為易，大大簡化繁瑣的計算過程。

編輯：張昀