教材例習題編寫的思考和范例

☉北京市海淀區教師進修附屬實驗學校 夏繁軍

教材例習題編寫的思考和范例

☉北京市海淀區教師進修附屬實驗學校 夏繁軍

教材例習題是教材和教學的有機組成部分，它是幫助學生鞏固基本概念，評估學生學習效果，提高學生思維能力，訓練學生學會數學表達，促進學生學習的有力工具，下面結合對教材的研究和教學的體會，對教材例習題的作用，編寫的原則，例習題編寫的目標測評方式給出個人的認識，并結合人教B版選修2-2第一章第一單元導數（導數的概念和幾何意義）給出我對例習題設計的思考.

一、教材例習題編寫的原則

1.明確性：幫助學生理解、鞏固教材的概念、公式、法則，提高學生的思維能力，開闊學生視野，感受數學的價值，幫助

學生進一步提出和解決問題；

2.適度性：題目數量、難度要適度，有利于學生對教材概念的理解，引導學生學習和提問，提高學生思維能力；

3.系統性：注重不同知識間、不同學科間、不同領域間的聯系、整體要有系統的規劃，重點題目在不同的位置體現不同的作用.

二、教材例習題編寫的目標測評表

根據以上分析，結合筆者的教學體會，制定以下教材例習題編寫的目標測評表，供教師編寫例習題時參考.

注：①4.很能體現；3.比較能；2.一般；1.不能.②只要有一項是4分，就要考慮，或總分≥17分該題目可選用.（具體建議：理解核心概念3分以上，能力至少占一項，且此項得分在3分以上，后面5項指標中至少要3項在3分以上，其余2項在2分以上，最低總分17分.）

三、范例

人教B版選修2-2第一章第1單元：導數（導數的概念和幾何意義）

《普通高中數學課程標準》對導數概念的要求：

導數的概念和幾何意義

①通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵.

②通過函數圖像直觀地理解導數的幾何意義.教學建議：

通過實際背景和具體實例──速度、膨脹率、效率、增長率等反映導數思想和本質的實例，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，知道瞬時變化率就是導數.體會凡變化的對象，都有變化率的問題，導數就是某個時刻的瞬時變化率.

根據課標要求，我從教材例習題編寫的目的出發，以評價測評表為依據，對照分析人教B版選修2-2第一章第一單元導數（導數的概念和幾何意義）的例、習題，分析修改的原因，并給出修改后的例習題和目的，詳細內容見下表：

內容安排 原例題、習題 修改原因 修改后的例、習題和設計目的1.1.1平均變化 本節的重點是理解函數f（x）在某一點x 0附近的平均變化率.教材引入：山坡—斜率—函數變化率例1 求 函 數y=x 2在 區 間［x 0，x 0+Δ x］的平均變化率.例2 求函數y=1 W x 在區間［x 0，x 0+Δ x］（x 2≠0，x 0+Δ x≠0） 的平均變化率.甲廠例題此處兩個例題全部求［x 0，x 0+Δ x］的平均變化率.應該增加通過圖像分析變化率的例題，研究函數的不同方法：解析式、圖像、導數，同時提高學生的觀察能力，找準思考的角度分析問題，規范學生表達能力，而例題2可以放在練習B例1求函數y=x 2在區間［x 0，x 0+Δ x］的平均變化率.（目的：鞏固概念）例2兩個工廠經過治理，污水的排放量（W）與時間（t）的關系如圖1所示.試指出在接近t 0時哪個工廠治污效果較好.（目的：通過圖像直觀分析變化率，學會應用數學語言進行表達和交流）乙廠O t 0-Δ t t 0 t圖1 A組A組1.通過圖像分析變化率（好例子）2.求函數y=x 2在區間 1，4［ ］，3 1.甲乙兩人跑步路程與時間的關系以及百米賽跑路程與時間關系分別如圖2、3所示：3的平均變化率并比較大小.3.求函數y=x 2－2 x+3在區間2 3 1［ ］，8 2，7路程3［ ］3，1 0 0 m［ ］O 2，2，2，2 5 1［ ］的平均變化率.圖2 t 圖3 t O 2 1.1.1練習B組練習2重復運算太多，可以讓學生計算區間［1，2］，［2，3］的變化率，并比較大小，與例題1相對應，一個是一般的區間，一個是具體的，并且讓學生從具體數據體會到函數y=x 2在x>0時平均變化率是增大的.練習3運算過于復雜，不利于學生理解概念，建議刪去.1.通過圖像比較平均變化率（好例子）2.求函數y=s i n x在區間 0，π［ ］6［ ］的平均變化率的大小.（好例子，有利于不同模塊間的聯系）和π 3，π 2（1）甲乙兩人哪個跑得快？（2）甲乙兩人百米賽跑，問接近終點時，誰跑得較快？（目的：通過圖像直觀分析變化率）（原題保留）2.求函數y=x 2在區間［1，2］，［2，3］的平均變化率，并比較大小.（目的：從具體數據體會到函數y=x 2在x>0時平均變化率是增大的.）B組1.求函數y=1 x 在區間［x 0，x 0+Δ x］（x 0≠0，x 0+Δ x≠0）的平均變化率.（目的：例題1的對應練習）（原例題保留）

2.比較 函數y=s i n x在 區間 0，π［ ］和6 1.1.1練習［ ］的平均變化率的大小.（目的：有利于建立不同模塊間的聯系）（原題保留）π 3，π 2 1.1.2瞬時速度與導數概念本節重點是引導學生經歷從平均變化率到瞬時變化率的過程，明確函數的瞬時變化率就是函數的導數.并且給出導函數概念.體會極限的思想.教材以1 0米跳臺跳水運動為例，分析運動員在t=2秒時的瞬時速度，函數h（t）=1 0+6.5 t－1 2 g t 2，重視過程.2 g t 2，求向上速度為0時經過的時間.例2面積對溫度的膨脹率（二次函數型）（應增加對導數概念理解的題目）.例1 火箭做豎直上拋運動，函數h（t）=1 0 0 t－1例題一方面讓學生通過運算瞬時變化率來體會導數的概念，還應當通過圖像等方式讓學生體會導數的概念，建議例2放在練習B中第2題與討論 火箭上升最大高度 偏離方向，成了解物理題，刪去例1包括思考與探究都保留.（典型模型的再次利用，體會瞬時速度就是導數）例2求函數y=a x 2+b x+c在x=1和x=2處的導數.目的：體會求函數的導數就是求瞬時變化率，與例1在問題的問法上相反.利于學生思維能力的培養.思考探索與研究通過圓的面積與圓周長的關系，球的體積與球的面積的關系，理解導數的概念建議放在導數一章的后面，作為一個完整的探究問題.觀察與思考：如圖4是我們見到的汽車過橋時的限速牌，圓牌上的速度（2 0），（4 0）你認為應當是平均速度還是瞬時速度？（放在導數和導函數后面，源于生活，和學生生活密切相關，幫助學生認識數學在實際生活中的應用，同時滲透生活教育，我們應當多找些這種例子）圖4 A組A組A組1.求運動方程為s（t）=v 0t+1 1.求運動方程為s（t）=v 0t+1 y 2 a t 2在t=2秒時的瞬時速度.2.以初速度為4 0 m/s斜拋一石頭，拋擲方向與水平成4 5°，求石頭達到的最高高度.3.求函數y=a x+b的導數.4.如果一個函數的導數處處為零，這個函數是什么函數？B組1.以初速度為5 0 m/s斜拋一手榴彈，拋擲方向與水平成6 0°，求手榴彈能擲多遠.2.求函數y=a x 2+b x+c在x=1和x=2處的導數.練習2運算的復雜性干擾了學生對導數概念的理解，練習2可以換成具體的一次函數，更有利于學生的理解，然后問學生一般的一次函數在各點的導數.B組練習1與A組的第2題重復.其中膨脹率有利于幫助學生理解導數概念，故保留在B組練習2中.2 a t 2在t=2秒時的瞬時速度.目的：例題1的對應練習2.圖5是函數f（x）的圖像，根據圖像分別求函數f（x） 在點x 0=1，x 0=2處的導數.并思考函數y=a x+b在各點的導數是什么.目的：滲透數形結合思想，提高歸納概括能力B組1.如果一個函數的導數處處為零，這個函數是什么函數？1 x 1.1.2練習O 2圖5

1.1.2練習2.（原例題2）一正方形鐵板在時，邊長是1 0 c m，加熱后鐵板會膨脹，當溫度是時，邊長變為1 0（1+a t）c m，a為常數，試求鐵板面積對溫度的膨脹率.1.1.3導數的幾何意義體會由割線的斜率無限逼近切線的斜率，給出導數的幾何意義：f′（x 0）是函數f（x）在點（x 0，f（x 0））的切線的斜率.教材的說法感到比較生硬.可用問題引導：求曲線在已知點A處的切線，只需要再求什么？（在割線無限逼近切線的過程中，割線的斜率就會趨近于切線的斜率，割線的斜率的極限就是切線的斜率，即函數在點A的導數）問題引導，體現過程，會更好些.例1 求拋物線y=x 2在點（1，1）的切線的斜率.例2求雙曲線y=1 6此處三個例題主要圍繞函數在的切線的求法，與本節課的核心概念；導數的幾何意義的理解有所偏離.求曲線的切線僅僅是一個導數幾何意義的應用問題，可以舉一個例子即可.其他的可以放在運算法則后面.對于曲線的切線準確的理解可以通過思考探究題來呈現，完善學生的知識結構.例題3那種不過切點的情況可以放在后面.例1 二次函數f（x）的圖像如圖6所示，不用計算，試比較圖像上三個點B、C、D的導數值大小.目的：理解導數的幾何意義，問法上引導學生由導數聯想幾何意義，培養學生逆向思維能力，動手操作能力.思考：函數的導數值的大小與函數在此點附近變化的關系？目的：在于引導學生由導數的情況來研究函數的單調性，以及體會以直代曲思想.例2求拋物線y=x 2在點（1，1）的切線方程.目的：導數幾何意義的應用例3函數y=x 3的圖像如圖7所示，以圖像上一點A（1，1）為切點，作函數的切線l，則直線l與函數圖像有幾個公共點？這與初中所學的切線的定義有什么不同？目的：準確理解曲線的切線的定義.y 4 B 2（ ）處x在點 2，1 C D 2-2 5 O x的切線方程.（重復，可以換成一個理解以直代曲思想的題目）例3求拋物線y=x 2過點 5圖6 6的切線方程.（ ）2，例題6 4 y 2 A x-2-4 5圖7 A組A組A組y 1.求函數y=x 2在點（0.3，0.0 9），（1，1），（3，9）的切線的斜率.2.求下列曲線在給定點的切線的斜率（1）y=2 x 2，（1，2）；（2）y=x 2+1，（1，2）；（3）y=3 x－5，（2，1）；（4）y=1第1題與例題重復，第2題求切線的不同形式，而且是在運算法則介紹以前，只能用定義算，掩蓋了幾何意義的理解.B組第2題從方法上與第1題一樣，而且運算量大，不利于理解導數的幾何意義.1.如圖8，函數f（x）的圖像是折線段A B C，其中A，B，C的坐標分別為（0，4），（2，0），（6，4），則f（f（0））=______；l i m 4 3 2 C 1 1.1.3練習B 1 2 3 4 5 6 x圖8 Δ x→0 f（1+Δ x）－f（1）Δ x x ，（1,1）.=______.（用數字作答）

B組1.已知曲線y=x 2-1和其上一點，這點的橫坐標是-1，求曲線在這點的切線方程.（有此題，前面A組練習就可以不要）2.求拋物線y=x 2+3 x+4上一點（x 0，y 0）的切線方程.（一般點就不用推導）目的：理解導數的幾何意義（2 0 0 8北京）2.求雙曲線y=1 x在點 2，1（ ）處的切線方程.2目的：例2對應練習，函數類型換成反比例函數.B組1.已知曲線y=x 2－1和其上一點，這點的橫坐標是1，求曲線在這點的切線方程.2.畫出函數f（x）=s i n x（x∈R）包含原點的部分圖像，類比割線逼近切線的方法，畫出函數f（x）在原點出的切線.（鏈接動畫）目的：經歷由割線無限逼近切線的過程，體會曲線切線的定義.聯系三角函數圖像和性質.A組A組A組1.已知質點按照規律s=2 t 2+4 t運動，求（1）質點開始運動后3 s內的平均速度；（2）質點在2 s到3 s內的平均速度；（3）質點在3 s時的瞬時速度.2.求下列函數的導數（1）y=a x+b（與練習2 A組第3題重復）；（2）y=1 x+1.已知質點按照規律s=2 t 2+4 t運動，求（1）質點開始運動后3 s內的平均速度；（2）質點在2 s到3 s內的平均速度；（3）質點在3 s時的瞬時速度.目的：復習平均變化率與瞬時變化率.2.高臺運動員相對于水面的高度關于時間的函數是h（t）=1 0+6.5 t－4.9 t 2，高度h關于時間t導數是速度v，則速度v關于時間的導數是什么？目的：加深對導數的意義的理解.（參照人教A）3.下圖是某一運動路程關于時間的大致圖像.則運動速度與圖像的對應可以是：習題1-1 2（重復）.3.已知函數f（x）=（x－1）2，求f′（x），f′（0），f′（2）.B組1.函數y=f（x）的導函數與在x 0處的導函有何區別.2.商 f（x+Δ x）-f（x）Δ第1題復習平均變化率與瞬時變化率，保留.第2題與前面的重復，刪去第3題目的是區分導函數與導函數值，保留.B組第2題原來想放在導數概念的后面，后來反復考慮：如果放在哪里，在學生沒有經過導數的運算過程，會給導數的概念帶來混亂，還是放在習題較好，在學生經過大量導數運算后再認識其中x的不變性會更好，體會變化中的不變性.x 與x有關嗎？令Δ x→0，x是否應保持不變？3.分別求拋物線y=1（ ） （ ） （ ）A.勻速行駛 B.加速行駛 C.減速行駛4 x 2在點（-2，1）和（2，1）的切線方程.4.求拋物線y=1 4 x 2過點 4，7（ ）的4切線方程.x 與x有關嗎？令Δ x→0，x是否應保持不變？3.已知函數f（x）=（x－1）2，求f′（x），f′（0），f′（2）.（目的：是區分導數、導函數、導函數值）（重點體會函數的導數體現原函數的變化情況）B組1.函數y=f（x）的導函數與在x 0處的導函有何區別.2.商 f（x+Δ x）-f（x）Δ

4 x 2在點 （-2，1）和（2，1）的切線方程.（目的：導數幾何意義的應用）5.你已經學習導數的概念，那你如何給你未學過導數的同學介紹什么是導數？（目的：對所學的導數知識的匯總：導數概念的不同表達形式）4.分別求拋物線y=1例習題編寫建議增加思考與討論借鑒近幾年高考題、模擬題中的優秀題目，數學教育讀物中的優秀題目，大學教材中的習題導數一章的探索與研究作業：利用所學的導數的知識，研究圓的面積和圓的周長，球的體積和球的表面積的關系，寫一篇研究論文，相信你會做好，做完與同學交流一下，以小組為單位在班級展示.目的；導數的應用研究，合作意識的培養對原來例習題的總體印象：1.運算太多，干擾對概念的理解.2.重復太多，給老師學生心里造成負擔.3.缺少思維訓練，能力提升的分析.4.缺少靈活和動手操作層面的內容.修改后：題量比較適當，題目集中突出對概念、本質的理解，注重數學思想的提煉，特別是數形結合思想，注重學生的體驗，通過圖像、解析式、運算研究函數性質，注重學生思維能力的提升和動手能力培養.

四、教材例習題編寫和利用的思考

1.教師觀念要轉變：“用教材教，不是教教材，不能為教完而教完”.

2.真正貫徹新課程標準的要求，新理念要落實在教材編寫中；

3.參與教材編寫的教師，用教材的區域的教師培訓要到位；

4.教參編寫要到位，要盡量說明題目的目的和意圖；

5.借鑒近幾年高考題、模擬題中的優秀題目，數學教育讀物中的優秀題目，大學教材中的優秀習題.

1.中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.人民教育出版社，2003.

2.嚴士建.普通高中數學課程標準解讀［M］.南京：江蘇教育出版社，2004.

3.人民教育出版社，中學數學教材試驗研究所.人教B版《數學》選修2-2［M］.北京：人民教育出版社，2007.

4.人民教育出版社，中學數學教材試驗研究所.人教B版《數學》選修2-2教師教學用書［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.人民教育出版社，中學數學教材試驗研究所.人教A版《數學》選修2-2［M］.北京：人民教育出版社，2007.

6.人民教育出版社，中學數學教材試驗研究所.人教A版《數學》選修2-2教師教學用書［M］.北京：人民教育出版社，2007.

7.張景中，任宏碩.漫畫數學［M］.北京：中國少年兒童出版社，2003.

8.張奠宙，丁傳松，柴俊.情真意切話數學［M］.北京：科學技術出版社，2011.■

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