圓錐曲線含參問題求解中不等關系的構建

☉湖北省武漢市鋼都中學 姜名山

圓錐曲線含參問題求解中不等關系的構建

☉湖北省武漢市鋼都中學 姜名山

圓錐曲線中的參數問題一直都是高考的重點和難點，而很多考生往往無從下筆.為此筆者給出幾種解決這類問題的幾種途徑.我們知道要求未知量的值必須建立關于未知量的方程，要求參數的取值范圍必須要建立關于參數的不等式.那么，在圓錐曲線中如何尋找不等關系就變得非常重要了，有些不等式一目了然，有些不等關系則暗含在題目條件里.那么從哪幾個方面去尋找不等關系呢？

一、利用幾何圖形中的特殊位置建立不等式

例如橢圓的焦半徑，雙曲線的焦半徑就有一個自身的變化范圍，這個范圍是我們經常需要用來建立不等式的.

評析：此題中要求離心率的范圍，那么其實就是建立圓錐曲線中a、b、c三者的不等式，而題目中又涉及到焦半徑，那么就利用橢圓中焦半徑的取值范圍來建立不等式.

二、利用直線和圓錐曲線交點個數建立不等式

評析：該題有兩個條件和限制k的取值范圍，一個是恒有兩個交點，那么判別式就應當大于零.另外一個就是題目已經出現的O≠→A·O≠→B＜6.

三、利用題目中已知的范圍去建立不等式

在有些題目中往往已經給出了某個量或者表達式的范圍，那么我們只需要把要求的參數與該表達式建立起關系，利用已知的范圍進行求解.

例3如圖1，兩條過原點O的直線l1、l2分別與x軸、y軸成30°的角，已知線段PQ的長度為2，且點P（x1，y1）在直線l1上運動，點Q（x2，y2）在直線l2上運動.

圖1

（1）求動點M（x1，x2）的軌跡C的方程；

（2）設過定點T（0,2）的直線l與（1）中的軌跡C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍.

此題就是利用∠AOB為銳角這個條件建立的關于k的不等式，那么中間把∠AOB為銳角的不等式轉換到k上來就是解題的關鍵.

本文重在給學生指出尋找圓錐曲線含參數問題中不等關系的三個基本思路.以此拋磚引玉，望考生不斷歸納總結，使自己的知識系統更完備.■