以實際問題為背景的線性規劃問題的求解

☉江蘇省靖江市第一高級中學 侯進杰

以實際問題為背景的線性規劃問題的求解

☉江蘇省靖江市第一高級中學 侯進杰

近幾年的新課程試卷中經常出現運用線性規劃的思想處理實際問題的考查，通過對全國各地的高考模擬試題和真題研究分析發現，此類問題主要與不等式相結合，側重于基礎知識、基本技能、基本方法、運算能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決實際問題能力的考查；本文筆者通過對兩道典型例題的解析，探析如何將復雜的、繁瑣的實際問題轉化成簡單線性規劃問題進行求解.

高中數學中利用線性規劃處理實際問題時，通常涉及如下兩種類型：

一、給定任務下，安排最佳方案達到消耗資源最小

例題1 兒童的午餐和晚餐關系到兒童身心健康問題，某小學餐廳中一個單位的午餐含有碳水化合物、蛋白質和維生素分別為12個單位、6個單位和6個單位；晚餐中含有碳水化合物、蛋白質和維生素C分別為8個單位、6個單位和10個單位；午餐和晚餐中至少含有碳水化合物、蛋白質和維生素C分別為64個單位、42個單位和54個單位才能滿足兒童正常成長的營養需要.一個單位午餐為2.5元，一單位晚餐為4元；求：兒童預定多少單位午餐和晚餐在所用費最節省的情況下滿足營養要求.

思維引導：本題中所涉及的實際問題的處理，關鍵是通過審題弄清題目中涉及的各量之間的聯系和區別，準確找出線性約束條件，列出目標函數，運用數形結合的思想處理這類問題.

解析過程：設預定x單位的午餐，y個單位的晚餐，總費用z元，則z=2.5x+4y.

精要點評：解線性規劃實際問題時，首先設出變量，找出變量間的關系即約束條件，然后確定目標函數并畫出可行域最終求得最優解并作答；線性規劃思想處理實際問題主要涉及類型：①任務安排

問題；②配料問題；③落料問題；④布局問題；⑤庫存問題.

二、資源總量一定的情況下，精打細算獲取最優方案實現最大效益

例題2 甲、乙兩個電視臺為某公司做總時間和費用不超過300分鐘和9萬元的廣告宣傳，甲電視臺收費500元/分鐘，乙電視臺收費200元/分鐘；公司因甲電視臺的廣告宣傳帶來收益0.3萬元/分鐘，乙電視臺的廣告宣傳帶來收益0.2萬元/分鐘；若要使該公司的收益達到最大，甲乙電視臺的為公司的廣告宣傳將如何分配？公司獲得最大收益的具體數值是多少？

思維引導：本題解題的關鍵是準確畫出可行域的基礎上列出目標函數，在可行域內解出目標函數最優解；這正體現了將數學模型的解轉化為實際問題的解.

解析過程：假設x分鐘，y分鐘分別為甲、乙電視臺做廣告宣傳的時間，收益一共z元；根據題意得：

精要點評：（1）要能抓住題設中的核心條件，找出約束條件，建立目標函數，將實際問題轉化為數學問題，用數形結合的方法求解；（2）能準確利用目標函數的幾何意義尋找最優解，最優解通常在可行域的各項頂點處取得，在實際問題中要注意變量的實際意義是否為整數，注意調優方法的運用.

總之，利用線性規劃解決實際問題一般經過：數學模型的建立、求解和應用；但是有時候根據實際問題的需要，在“模型建立”之前需要作出“模型假設”，而在“模型求解”之后需要作出“模型分析”和“模型檢驗”；解決實際問題的關鍵在于正確理解題意，將一般文字語言轉化為數學語言進而建立數學模型，這就需要我們一線的高中數學老師在平時的課堂教學中注重將實際問題轉化成數學模型方法的訓練和能力的培養，本文中兩個范例的解答和分析過程正體現了讀者在處理相關數學問題時所要注意之處，真正體會如何利用線性規劃的思想處理實際問題的精妙之處，從而大大優化高中數學課堂教學.