在中考題中滲透傳統幾何定理的命制策略

☉江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 王春明

在中考題中滲透傳統幾何定理的命制策略

☉江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 王春明

傳統幾何定理作為一種重要的數學資源，在中考題中有所體現.在由傳統幾何定理命制中考題時常用的策略有：方法借鑒、思路提煉、結論運用、問題拓展等.

一、方法借鑒

梅內勞斯定理是平面幾何一個非常重要的定理，其證明涉及到相似三角形的判定與性質，但往往需要添加輔助線，常用的方法有：作平行線構造相似三角形，或作高利用面積法.由于平行線的添加有多種方法，使得定理的證明方法具有多樣性.以該定理為背景命制中考題可以沿襲其證明方法的多樣性，考查學生幾何推理能力的靈活性和創造性；也可以將其改造成適合作為中考題的素材，然后適度整合.

例1 （2009年濰坊市）如圖1，已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC，取AB的中點F，連接FD交AC于E.

（ 1）求AE∶AC的值；

（ 2）若AB=a，FB=EC，求AC的長.

說明：本題由梅內勞斯定理添加了兩個特殊條件（AF=BF，CD=BC）得出的一道中考題，它也是一道傳統的比例式典型題.試題給出的條件特殊，題型常規，解法多樣，致使難度大大降低了.它主要是考查學生運用不同的數學思想、方法，從不同的角度思考、分析問題，以及探索出多種解題思路的能力，這對于開闊學生思維視野、培養和訓練學生思維能力及教師今后的教學導向都具有極大的教育價值.

（1）一條平行線——五彩繽紛

傳統幾何定理的證明方法中蘊含著豐富的思路、方法和數學文化.梅內勞斯（Menelaus）定理是指：若直線l不經過△ABC的頂點，并且與△ABC的三邊BC，CA，AB或它們的延長線分別交于點P，Q，R，則

二、思路提煉

立足傳統幾何定理的思路，將典型的結論隱含在問題之中，通過恰當的方式予以呈現.

在一個三角形中，到三個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點.為了便于改編為中考題，可以抽取費馬點這樣一個簡單的性質：如果三角形的三個內角均小于120°，則在三角形內部對三邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點.費馬點性質證明思路的本質是通過旋轉變換將三條線段轉化到一條折線中，利用“兩點之間線段最短”的公理，發現當且僅當∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時三點共線，從而線段最短.幾何變換作為課程標準新增加的內容，受到中考命題專家的重視，但如何滲透變換的思想，特別是旋轉變換的思想方法，將基本的幾何公理和實際問題（本題的實際模型是“將軍飲馬”問題）有機結合起來，學生感覺似曾相識，但又有所創新，這是一個很好的命題素材.

說明：本題由定義費馬點入手，涉及的都是平面幾何的核心知識，包括相似三角形的判定與性質、三角形全等的證明.其中的問題（1）不難解決，問題（2）要證明三條線段的和等于一條線段的長，基本的思路是截長法和補短法，如圖10，可以在線段BB′上取點P，使∠BPC=120°，連接AP，再在PB′上截取PE=PC，連接CE.然后證明△ACP≌△B′CE，這里證明的思路是將△BPC繞點C旋轉60°，這樣可以得到∠APC=∠B′CE=120°，從而BB′過△ABC的費馬點P，且BB′=PA+PB+PC.

該題屬于不太難的試題，但能夠觸及費馬點的本質，為了減小區分度設置了兩個問題分別考查不同的知識點，起到有效調控的作用.

三、結論運用

一些經典的幾何定理給人以美的享受，隨著課程標準的日益普及，人們對傳統的幾何定理有所忽略，為了扭轉這種局面，在中考題中適當利用傳統幾何題的結論改編一些中考題，可以弘揚傳統文化，也能將傳統幾何定理和新課程理念進行對接.托勒密定理是初中學生完全能夠接受的一個經典幾何定理，所使用的知識都是一些基本的相似三角形的判定與性質，將其和全等三角形融合起來，可以采用“先獲得結論，再予以證明”的命題思路，也可以構建“先探究結論，再進行推廣”的命題策略.

四、問題拓展

著名的國際數學教育家波利亞說：“在數學的百花園中，生長著許多美麗的蘑菇，如果你有幸采擷到一朵，可千萬別停步，看看它的周圍，一定還生長著很多更美麗的蘑菇.”如維維安尼定理：等邊三角形內一點到三角形三邊距離之和為定值.這是等邊三角形的一個性質，對其進行適當挖掘、發展，可以改編成中考題.

例4 如圖12，已知點P是邊長為a的等邊△ABC內任意一點，點P到三邊的距離PD、PE、PF的長分別記為h1、h2、h3、h1、h2、h3與a之間有什么關系呢？

問題1：若點P是邊長為a的等邊△ABC外一點（如圖13所示），點P到三邊的距離PD、PE、PF的長分別記為h1、h2、h3.探索h1、h2、h3之間有什么關系呢？并證明你的結論.

問題2：如圖14，正方形ABCD的邊長為a，點P是BC邊上任意一點（ 可與B、C重合），B、C、D三點到射線AP的距離分別是h1、h2、h3，設h1+h2+h3=y，線段AP=x，求y與x的函數關系式，并求y的最大值與最小值.