周期廣義諧和小波變換及重構

孔 凡，李 杰，2

(1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092;2.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092)

小波分析發展歷程充分體現出工程與數學領域相互促進關系。小波(wavelet)一詞由Morlet等［1］對地震數據分析時提出。Meyer等［2-4］提出連續小波容許性條件及重構公式，并將計算機視覺領域中多尺度分析思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析概念及Mallat算法。Daubechies［5］創立了支持離散小波的二進小波理論，并構造出緊支的正交小波基。在小波發展史中，Grossman等［6-7］也做出了杰出貢獻。

在完善和發展小波的純數學理論同時，小波理論在應用數學及工程領域中也頗具前景。Newland等［8］首先將小波分析應用于工程振動信號分析，并提出了諧和小波(Harmonic Wavelet，HW)及廣義諧和小波(Generalized Harmonic Wavelet，GHW)概念。HW 與GHW為一類具有解析形式，在頻率域上緊支但時域衰減較慢(依t-1)的小波［8-14］。HW被應用在求解常/偏微分方程［15-17］、積分與積分 - 微分方程［18-19］、時頻分析［20］、估計隨機過程功率譜密度［21-22］以及計算隨機激勵下系統二階響應［23-24］等方面。

諧和小波良好的工程應用前景在于其特殊的諧和成分與實際中發生的振動信號結構有相似之處［19］。快速Fourier變換(FFT)技術的應用，使諧和小波變換計算效率更高。HW與GHW均在無窮時域上正交，工程實際中發生的振動信號卻不具有無窮持時特征。因此，基于GHW概念，本文提出以有限時間T0為基本周期的周期廣義諧和小波(Periodic Generalized Harmonic Wavelet，PGHW);證明了此類小波在有限區間內的正交性;提出了基于FFT的PGHW快速冗余/非冗余小波變換及重構算法，指出了冗余和非冗余小波變換間關系;利用所提小波變換算法，對某地震動時程進行周期廣義諧和小波變換及其重構。

1 廣義諧和小波

HW與GHW均為具有解析表達、頻域緊支且時域衰減很慢的正交復小波［8-10］。其中母小波及尺度函數表達為:

式中:i為虛數單位(除說明顯外，正體i為虛數單位，斜體i為下標符號);t為時間。經平移與尺度變換后的HW為:

式中:j為尺度因子;k為平移變換因子，k=2j，2j+1，…，22j-1。

經尺度與平移變換后，HW的Fourier變換為:

式中:Ψ(ω)為母諧和小波的Fourier變換。

尺度函數、母小波函數及經平移與尺度變換后的小波Fourier變換之模見圖1。

圖1 各級諧和小波的Fourier變換之模Fig.1 Squared modulus of the Fourier transform of HW at different scales

由圖1知，諧和小波為二進小波，各級小波頻域互不交疊、且逐級寬度加倍高度減倍。如尺度函數頻域之模分布于［0，2π)上;0級小波頻域之模分布于［2π，4π)上;1級小波頻域之模分布于［4π，8π)上;第j級小波頻域之模分布于［2j2π，2j+12π)上。每級小波頻域寬度為定值，即第j級小波頻域寬度為2j2π。因此不具靈活性。為此 Newland［9］提出音樂小波(Musical Wavelet)，也稱為GHW。各級GHW的Fourier頻寬并不固定為2j2π，而由一對尺度指標確定，即(mj-nj)2π。其中mj，nj為第j級尺度指標。在Newland的原文中，對信號長度進行正規化，因此無論HW或GHW，其各級小波頻寬均為2π的倍數(信號長度為T0=1 s)。本文中對GHW采用一般表示方法，即:

式中:i為尺度下標;k=0，1，…，n-m-1為平移變換因子;G表示廣義;Δω=2π/T0為信號頻域采樣間隔;niΔω與miΔω為第i級尺度下小波頻域上下限。特別地，可考慮各尺度下小波頻帶寬相等，即ni-mi=njmj=n-m且ni-1=mi;T0為考慮信號持時。式(5)的GHW在頻域內表達為:

各階GHW在頻域內分布見圖2。

圖2 各階GHW的Fourier變換模Fig.2 Squared modulus of the Fourier transform of GHW at different scales

2 GHW周期化

據周期化非周期小波的一般過程［5］，周期廣義諧和小波可寫為:

其中:上標per代表“周期”。

據Fourier變換性質，式(7)右邊可寫為Fourier變換的逆變換，即:

式(8)右邊定義域為mΔω≤ω＜nΔω。據Poisson公式［10，18-19］，有:

式中:δ(ω-qΔω)為函數。當l=π/T0時，式(9)可化為:

結合式(8)與式(10)知:

因此，PGHW可寫為:

容易證明，式(12)頻域表達為:

由式(12)知，周期廣義諧和小波在時域上表現為若干諧和項之和;且平移因子表現為諧和項相位滯后;在頻域上表現為若干δ函數之和，且其中每個δ函數坐落于此尺度的頻域區間內每個頻率采樣點處。與GHW相同，PGHW為復小波，其實部為偶函數虛部為奇函數。式(12)中，平移變換因子k=0，1，…，n-m-1，PGHW平移一次，實際在時域上平移了T0/(n-m)。可以證明，平移后的PGHW在基本周期［0，T0)內是正交的。

如果使PGHW每平移一次，在時域上表現為平移了Δt，Δt為時間取樣間隔。則式(12)可改寫為:

式中:k=0，1，…，N-1為平移變換因子，N為時間取樣總數。式(14)可稱為冗余PGHW。可證，平移后的PGHW在基本周期上并非兩兩正交。

圖3為在某尺度與平移因子下且基本周期為T0=20.48 s的正交PGHW。由圖3知，PGHW的實部與虛部分別為關于其基本周期內中點的偶函數與奇函數。尺度因子越大，振動頻率越高。

圖3 正交(t)，(t)，(t)(t)小波的實部(實線)與虛部Fig.3 Real and imaginary part of orthogonal PGHW，(t)(t)(t)(t)

據PGHW頻域簡單性，易證式(12)PGHW在其基本周期［0，T0)上是正交的，即:

其中:〈·〉為函數內積符號，且:

由于PGHW的正交性，可保證其完全重構性(Perfect Reconstruction)。

3 變換與重構

根據定義，正交PGHW的小波變換可寫為:

結合式(12)，式(17)可寫為:

據式(18)，正交PGHW變換見圖4。

圖4 f(t)正交PGHW的小波變換Fig.4 Flow chart of the fast orthogonal PGHW transform

當原始信號為復值信號時，其重構公式為:

以工程教育認證為指導綱要,在培養社會所需人才的模式和方法上,突出工程應用教育的特點,強調“三結合”(理論與實踐結合、課內與課外結合、學校與企業結合),堅持系統更新優化、穩中求新、求進的原則,考慮社會發展、技術革新、需求引導、市場反饋意見等多方面因素,從而形成持續改進的測控技術與儀器專業人才培養模式。

式中:Re表示求實部。

數值試驗表明，利用式(21)、式(12)進行PGHW小波逆變換，由于循環求和原因，計算效率不佳。利用FFT技術，可加快PGHW小波變換速度。考察PGHW周期性后，本文提出快速PGHW逆變換算法。式(19)可表達為:

式中:N為時間取樣總點數。

式中:t1，t2，…，tN為時間取樣點，)，k為的復共軛。

同理，式(14)的非正交小波可變換為:

圖5 快速正交PGHW重構算法Fig.5 Flow chart of the fast reconstruction algorithm of orthogonal PGHW

將式(14)代入式(28)得:

非正交PGHW的小波變換見圖6。

圖6 f(t)非正交PGHW的小波變換Fig.6 Flow chart of the fast redundant PGHW transform

非正交PGHW的小波逆變換也可表達為式(19)、式(21)形式，區別在于該小波變換表達式為式(28)且:

式中:k=0，1，…，N-1為時間平移因子。

雖然快速非正交PGHW的小波重構算法與快速正交PGHW的小波重構算法類似，但區別為無圖5中上插值(Upsampling)環節。

顯然，式(12)小波在基本周期上構成一完備正交系，小波之間兩兩正交，稱其小波變換為非冗余小波變換。式(14)小波集合包含式(12)小波集合，稱其小波變換為冗余小波變換。非冗余小波變換為與離散信號同維向量;而冗余小波變換為矩陣，其中每個尺度下冗余小波變換為矩陣中的某一向量。即，非冗余小波變換與原始信號之間所包含的信息相等，當且僅當有該非冗余小波變換時，即可完全重構原始信號;而冗余小波變換中所包含信息大于原始信號中信息。因此，非冗余小波變換較冗余小波變換更高效，但重構原始信號時，前者較后者對誤差更敏感。由于冗余小波的光滑性(圖7)，在利用PGHW估計隨機過程功率譜應用中，較正交非冗余PGHW更具優勢。對比式(18)與式(28)，二者之關系為:

4 數值算例

以非平穩地震動時程為例，利用所提非冗余及冗余PGHW變換的快速算法，進行時程樣本的小波變換及重構。平穩隨機地震動功率譜采用Kanai-Tajimi譜，即:

式中:ωs，ζs為場地卓越頻率及等效阻尼;S0為基巖輸入白噪聲幅值。

地震動非平穩性由包絡函數表達，即:

式中:g(t)為包絡函數;S0分別為平穩隨機過程與非平穩隨機過程樣本函數;α=0.25，β=0.5為包絡函數參數;k為使gmax(t)=1的正規化系數。

目標非平穩地震動時程樣本由式(32)及平穩譜表達方法［25-26］(Spectral Representation Method)生成。

圖7為樣本地震動在某尺度下的非冗余及冗余小波變換，二者之關系見式(31)。圖8為目標非平穩地震動時程與非冗余PGHW快速小波重構后的非平穩時程對比。利用冗余PGHW快速小波重構算法也可得到類似結果。由圖8可見，小波變換后重構信號與原信號吻合良好，說明本文所提PGHW快速小波變換與重構算法的可靠性。

圖7 某樣本地震動在某尺度下非冗余及冗余小波變換Fig.7 Non-redundant and redundant PGHW transform of an earthquake excitation at a certain scale

圖8 樣本目標地震動與重構地震動對比Fig.8 Comparison between the original and the reconstructed signal

5 結論

(1)本文提出在基本周期［0，T0)內正交的諧和小波，即周期廣義諧和小波(PGHW)。PGHW母小波可看作經若干諧和分量疊加而得;不僅保留了諧和小波族在頻域內的簡單性，且非冗余PGHW在基本周期［0，T0)上正交。

(2)本文給出基于快速Fourier變換的快速正交(非冗余)PGHW變換與冗余PGHW變換及相應的快速逆變換，指出冗余及非冗余小波變換之間的關聯性。數值算例表明，由于PGHW在有限區間內的正交性，保證了其在相應區間內的完全重構性。

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