基于獨立分量分析的欠定盲源分離方法

楊 杰，俞文文，田 昊，關珍貞

(1.軍械工程學院，石家莊 050003;2.華陰兵器試驗中心，陜西 華陰 714200)

齒輪箱發生故障時常出現多種故障并發情形，用診斷單一故障的頻譜診斷法、軸心軌跡法、小波診斷法已不再有效，而盲源分離技術為較有效的機械復合故障診斷方法。但已有研究基本針對超定盲分離而言，即要求觀測器個數多于或等于源信號個數。少于源信號個數的欠定盲分離問題，已成為盲信號處理領域中挑戰性問題。

源數多于傳感器數時，機械故障源分離主要考慮稀疏源，利用源信號稀疏性估計混合矩陣;源稀疏性較好時，通過聚類方法可達到較好的盲分離效果［1-2］。源信號稀疏性較差時，雖可利用稀疏性得到混合矩陣估計，但通過聚類方法得不到較好的分離效果。

獨立分量分析(ICA)是解決盲源分離問題(BSS)的主要算法，其可使輸出信號各分量統計獨立以實現信號分離。已有多種不同算法［3-5］，如擴展Infomax算法。由于其既能分離超高斯信號，也能分離亞高斯信號，因而得到廣泛應用。但該算法只能用于超定盲分離。本文提出的欠定ICA算法，通過生成隱藏數據將欠定盲分離轉化為超定盲分離問題，再用擴展Infomax算法對信號進行分析。該方法可分離欠定情形下超高斯與亞高斯混合信號。結合包絡階次方法對齒輪箱實測瞬態信號進行分析，找到故障特征，驗證該方法的有效性。

1 基于獨立分量分析的盲源分離算法

1.1 獨立分量分析問題描述

圖1為x(t)由m個傳感器獲得m路觀測信號，每個觀測信號由n個獨立源信號si(t)(i=1，2，…，n)的線性混合，即:

式中:x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xm(t)］T為m個混合信號，s(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sn(t)］T為n個未知源信號，A=［a1，a2，…，an］為未知的m×n維混疊矩陣，ICA算法目的為從多路觀測信號x中分離出隱含其中的源信號s，即尋找分離矩陣W，有:

式中:u(t)=［u1(t)，u2(t)，…，um(t)］T為對隱含源信號分量s的逼近。

圖1 盲源分離原理圖Fig.1 The principle sketch of blind source separation

1.2 擴展的Infomax算法

Infomax算法［4］處理過程為:經矩陣W解混后對所得u的每個分量ui分別用一個非線性函數gi(ui)進行處理，得:

自適應處理目標函數可調節W使r的總熵量H(r，W)極大，由信息理論知，H(r，W)極大表示u的各分量間互信息I(u1，…，uN)極小。傳統Infomax算法中分離矩陣W迭代式為:

源信號中既有超高斯信號又有亞高斯信號時，采用φ(u)的選擇將無法得到滿意分離，Lee等［6］在傳統Infomax基礎上提出擴展的Infomax算法。在信號分離過程中，根據信號峰度變化，轉換動態模型系數。分離矩陣調整公式為:

式中:K=diag［sign(k4(u1))，…，sign(k4(uN))］，k4(·)為信號峭度，超高斯情況k4＞0，亞高斯情況k4＜0，輸出信號ui峭度可計算如下:

式中:E(·)表示期望，處理過程中可用樣本均值進行估計。

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2 欠定ICA算法

對欠定盲分離問題，大多數算法均在假設源信號稀疏前提下采用聚類或優化算法。該算法對不稀疏信號無能為力;對亞高斯信號缺乏有效欠定盲分離方法。

本文通過生成隱藏數據z，將欠定盲分離問題轉化為傳統超定盲分離問題，從而應用傳統的ICA算法進行分離。隱藏數據z的生成通過最大化已知混疊信號x和解混矩陣W條件概率實現，有:

生成隱藏數據z后，源信號分離問題轉化為傳統盲源分離問題，如圖2所示，新的混疊信號為:

式中:y∈?n，z∈?n-m。

圖2 欠定ICA算法流程圖Fig.2 Block diagram of underdetermined ICA

為較好估計隱藏數據z，需較準確估計源信號的概率密度。概率密度估計方法分參數估計與非參數估計。參數估計方法，需假定作為判別依據的、隨機取值的數據樣本在各個可能的類別中均服從特定分布經驗及理論說明，參數模型的基本假定與實際物理模型間常存在較大差距，因此該方法并非總能取得滿意結果。鑒于此，Rosenblatt等［7］提出非參數估計方法，即核密度估計方法。由于核密度估計方法不用有關數據分布的先驗知識，對數據分布不附加任何假定，從數據樣本本身出發研究數據分布特征，因此非常適用于信號盲處理。

給定獨立同分布隨機變量X的一組實現X1，X2，…，Xn，X的概率密度可估計為:

式中:K(x)稱為概率密度函數估計核函數，要求K(x)滿足條件:

(1)K(x)對稱，即K(x)=K(-x);

基于擴展Infomax的欠定ICA算法為:

(1)初始化分離矩陣W;

(2)給定觀測信號x與分離矩陣W后，據式(10)及當前估計源信號u的核密度估計式(12)由極大似然估計法生成隱藏數據z;

(3)由擴展Infomax算法，式(5)更新分離矩陣W，式(2)估計當前源信號u;

(4)返回步驟(1)直到算法收斂。

3 仿真信號分析

選一標準的Laplace信號作為仿真超高斯源信號s1(t);選s2(t)=sin(40πt)sin(600πt)，s3(t)=sin(200πt)作為仿真兩亞高斯源信號，采樣點數為1 200，用Matlab產生的隨機混合矩陣A對源信號進行混合產生混合信號X=A*［s1;s2;s3］，三個源信號與兩路混疊信號波形如圖3所示。圖4為分離后信號，可以看出，除ICA算法本身固有的分離信號排列順序及幅值不確定性，信號分離效果較好。

圖3 源信號與混疊信號Fig.3 Source signals and mixed signals

圖4 分離信號Fig.4 Separated signals

圖5 實測振動信號Fig.5 Vibration signals

圖6 實測振動信號的包絡階次譜圖Fig.6 Order envelope spectrum of vibration signals

圖7 分離信號時域圖Fig.7 Separated signals

4 齒輪箱復合故障信號分析

用某型單級齒輪箱進行試驗驗證。該系統由電機帶動輸入軸，輸出軸帶動負載。主動齒輪齒數Z1=30，被動齒輪齒數Z2=50，輸入軸軸承為6206型單列向心滾動軸承，輸出軸軸承為7207型單列向心滾動軸承，通過在齒輪嚙合面切去一定厚度材料模擬齒面磨損故障。軸承故障是在輸入軸軸承內圈和滾動體通過線切割實現，對振動信號在時域里進行等時間間隔采樣，輸入軸轉速由0均勻加速1 200 r/min，對加速過程的振動信號進行分離實驗。內圈故障特征階次為Xinner=5.42階，外圈故障特征階次為Xouter=3.58階，滾動體故障特征階次為Xroller=2.35階。

由于機械結構振動信號通過結構傳遞產生延遲，機械系統瞬態特征不會保持不變。但當考慮一剛度很大、位移很小的結構時，其振動傳遞延遲可忽略不計，可保持瞬態模型。為此，認為齒輪箱振動信號滿足線性瞬時混合模型。

在輸入軸兩端軸承座上各安裝一個型號為B＆K4508加速度傳感器，兩個傳感器采集的振動信號時域如圖5所示，隨轉速的提高，信號幅值逐漸增大，此為非穩態過程。由于階次包絡譜［8］能有效提取旋轉機械升降速過程中的故障特征階次，因此本文采用階次包絡譜方法進行分析。實測振動信號階次包絡譜如圖6所示，從圖中只能看到軸承內圈故障的特征階次，而外圈及滾動體故障特征卻因噪聲及混合故障存在變得不明顯。

采用本文所提欠定ICA算法對實測振動信號進行處理，分離信號時域圖如圖7所示，從時域上并不能直觀看出分離效果，圖8為分離信號包絡階次譜圖，從圖8(a)、(b)、(c)三幅圖中分別可看出內圈、外圈和滾動體故障的特征階次，說明欠定ICA算法可將三種故障成功分離。

圖8 分離信號的包絡階次譜圖Fig.8 Order envelope spectrum of separated signals

5 結論

將獨立分量分析引入欠定盲分離問題中，解決了欠定情形下超高斯與亞高斯混合信號的分離問題，為欠定盲分離提供了新方法，同時擴展了獨立分量分析的應用范圍。通過對實測齒輪箱故障信號分析，表明該方法可有效分離齒輪箱故障特征，驗證了方法的有效性。

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