電梯懸掛系統在建筑搖晃引起位移激勵下橫向振動分析

王 文，錢 江

(同濟大學 結構工程與防災研究所，上海 200092)

隨著城市建筑高度的不斷增加，電梯已成為不可或缺的垂直交通運輸工具，對電梯運行速度要求越來越快。高層建筑在風荷載與地震作用等水平荷載作用下，會產生或大或小的搖晃，從而引起電梯懸掛系統振動，嚴重影響電梯乘坐的舒適與安全。電梯懸掛系統振動包括沿軸線方向的縱向振動與垂直軸線方向的橫向振動。研究表明高速運行電梯受到外界橫向激勵時，繩索的橫向振動遠大于縱向振動，是影響乘坐舒適性和運行安全性的主要因素［1］。國內外對電梯懸掛系統的橫向振動已有大量研究。Terumichi等［2］研究在恒定速度下變長度提升系統的非穩態振動現象;Zhu等［3-8］研究運行電梯懸掛系統的橫向自由振動及振動主動控制、試驗模擬、外部激勵下受迫響應;杜小強等［9］引入非線性時變元模型，對曳引繩—轎廂系統非線性水平振動進行研究;Kimura等［10］應用波動法，得到不變張力、恒定速度運行電梯繩索受迫振動的理論解。

本文主要研究高速運行電梯懸掛系統在建筑物搖晃引起的外部位移激勵作用下橫向振動響應。將高層建筑簡化為懸臂梁，設建筑物按基本振型振動。應用Hamilton原理，建立電梯懸掛系統在受兩點位移激勵時的橫向振動偏微分方程，應用Galerkin方法將其離散化為常微分方程組進行求解，得到電梯懸掛系統在不同激勵頻率下的位移響應，并研究轎廂彈簧剛度、集中阻尼及繩索分布阻尼變化對振動的影響。

1 懸掛系統的橫向振動模型

豎向運行電梯懸掛系統可簡化為下端附有一定質量的變長度縱向運動張緊繩，如圖1所示。電梯轎廂用附加在繩索下端質量為me的剛體表示，假定其通過剛度為ke的彈簧、阻尼系數為ce的粘滯阻尼器與導軌相連，在高度為L的高層建筑中豎向運行。設繩索單位長度質量為ρ，彈性模量為E，繩索時變長度為l(t)。在電梯系統豎向運行過程中，曳引繩上x(t)處的橫向振動位移為y(x，t)。

假設建筑結構按基本振型Φ(z)振動，頂點處振動用f(t)表示。則懸臂結構基本振型為:

圖1 電梯懸掛系統模型Fig.1 Model of elevator hoisting system

令懸臂結構振動引起電梯懸掛系統上、下端位移激勵分別為e1(t)，e2(t)［l(t)，t］，有:

繩索系統動能為:

式中:微分算子:

繩索系統勢能為:

式中:P(x，t)為繩索縱向張力:

阻尼力虛功為:

據Hamilton原理:

將式(3)、式(5)、式(7)代入式(8)，應用變分原理與分部積分方法簡化可得繩索橫向振動控制方程為:

其邊界條件為:

式(9)可轉化為具有齊次邊界條件方程。橫向振動位移y(x，t)可表示為:

式中:u(x，t)為滿足相應齊次邊界條件部分，h(x，t)為不滿足齊次邊界條件部分。

將式(12)分別代入式(9)～式(11)得:

設h(x，t)可表示為一階多項式，即:

式中:a0(t)=e1(t)，a1(t)=e2［l(t)，t］-e1(t)。

將式(16)代入式(13)、式(15)，得新的外部激勵下偏微分方程組，解出u(x，t)后據式(12)可得繩索系統橫向振動位移。

2 偏微分方程離散化求解

引入變量ξ=x/l(t)，將對x時變積分區域［0，l(t)］轉化成關于ξ的定積分區間(0，1)。設(ξ，t)=u(x，t)，則u(x，t)對x，t的偏導數及(ξ，t)對ξ，t的偏導數存在關系為:

同理，令(ξ，t)=h(x，t)，則h(x，t)對x，t的偏導數及(ξ，t)對ξ，t的偏導數存在同樣關系。

設:

式中:qj(t)為廣義坐標，ψj(ξ)為假設振型函數，n為振型數。

據文獻［8］，ψj(ξ)可表示為:

將式(18)、(19)代入式(13)、式(15)，再乘以ψi(ξ)(i=1，2，3，…，n)，并在ξ=［0，1］內積分，將偏微分方程離散化成常微分方程:

式中:M(t)，C(t)，K(t)，F(t)分別為質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、廣義力矩陣。各矩陣元素Mij，Cij，Kij，Fi的表達式分別為:

對式(20)進行逐步積分，可得不同時刻廣義坐標q值，代入式(18)、式(12)可得橫向振動位移y(x，t)。

3 算例與討論

本文用文獻［8］中典型高速電梯參數進行計算:ρ=1.005 kg/m，me=756 kg，ke=2 083 N/m，轎廂固有頻率ωe=1.66。設電梯系統初始條件為靜止狀態，即y(x，0)=0，yt(x，0)=0。電梯上升過程中位移、速度、加速度及加加速度曲線如圖2所示。設建筑物頂部位移激勵為f(t)=Z1sin(ω1t)，其中Z1=0.1 m。數值計算所取振型數均為n=20。

圖2 電梯上行運行曲線Fig.2 Upward movement profile of the elevator

圖3為不同頻率激勵下轎廂上方10 m處曳引繩無阻尼橫向振動位移響應，在遠小于繩索基本頻率低頻激勵下，橫向振動最大振幅很小，繩索振動頻率與激勵頻率近似相等。當激勵頻率等于轎廂自振頻率時，恰好在繩索基本頻率變化范圍內，三者產生共振，繩索最大振幅突然增大，振動頻率近似等于激勵頻率。隨激勵頻率的增大，離開共振區繩索最大振幅迅速減小后逐漸增大。圖中也可看到，隨高速電梯的不斷上升，繩索振動幅度及振動頻率逐漸加大，此為造成乘員在該階段的不適及聽到嗡鳴聲原因。

圖4為激勵頻率ω1=1.66時轎廂上方10 m處曳引繩無阻尼橫向振動位移隨轎廂剛度變化情況。當ke增大時，繩索振動離開共振區，位移響應迅速減少;隨ke的不斷增大，位移響應緩慢增加。

由圖3、圖4可知，無阻尼情況下繩索振動幅度遠大于激勵位移幅度，而實際工程中是不允許出現的。圖5、圖6為分別考慮集中阻尼、分布阻尼變化對繩索振動位移影響。圖5(a)、圖6(a)為繩索系統處于共振情況，從圖中看到隨集中阻尼、分布阻尼的增大，繩索位移響應逐漸減少;圖5(b)、圖6(b)為繩索系統處于非共振情況，集中阻尼變化對繩索響應位移基本未產生作用，但分布阻尼微小增加能迅速有效減少繩索的響應位移。

圖3 不同激勵頻率(rad/s)的繩索橫向振動Fig.3 Transverse vibration of rope with different frequencies excitations(Unit:rad/s)

圖4 不同彈簧剛度(N/m)的繩索橫向振動Fig.4 Transverse vibration of rope with different spring stiffness(Unit:N/m)

圖5 集中阻尼(N·s/m)對繩索橫向振動影響Fig.5 Effect of lumped damping(Unit:N·s/m)on Transverse vibration of rope

圖6 分布阻尼(N·s/m2)對繩索橫向振動影響Fig.6 Effect of distributed damping(Unit:N·s/m2)on Transverse vibration of rope

4 結論

通過對建筑物搖晃致高速運行電梯懸掛系統產生橫向振動響應分析及算例計算，結論如下:

(1)電梯上行過程中，曳引繩的橫向振動幅度與振動頻率增大;尤其當激勵頻率、繩索自振頻率與轎廂固有頻率接近時，會產生共振，導致轎廂劇烈振動，造成乘坐不舒適感甚至轎廂脫軌。改變轎廂彈簧剛度可改變其固有頻率，避免共振發生，能有效減少繩索振動幅度。

(2)發生共振時，增大分布阻尼與集中阻尼均能可不同程度減少繩索振動;在非共振區，增大集中阻尼不能改變繩索振動幅度，但分布阻尼的少許增大能迅速有效減小繩索振動幅度。

(3)本文對高速運行電梯懸掛系統在確定性兩點位移激勵下橫向振動響應分析，為研究電梯懸掛系統在隨機位移激勵下的動力響應與振動控制提供參考。

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