談柯西對數學的貢獻

李曉龍

(沈陽師范大學，遼寧 沈陽 110034)

柯西，英文名字Cauchy，Augustin Louis.中文名字奧古斯丁·路易斯·柯西。1789年出生于法國巴黎，1857年逝世，享年68歲。他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中已知擔任公職。他的父親是一位精通古典文學的律師，曾任法國參議院秘書長，和拉格朗日、拉普拉斯等人交往甚密因此柯西從小就認識了一些著名的數學家。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。

柯西對數學的最大貢獻是在微積分中引進了清晰和嚴格的表述方法。正如著名數學家馮·諾依曼所說：“嚴密性的統治地位基本上由柯西重新建立起來的。”在這方面他寫下了三部專著：《分析教程》、《無窮小計算教程》、《微分計算教程》。他的這些著作，擺脫了微積分單純的對幾何、運動的直觀理解和物理解釋，引入了嚴格的分析上的敘述和論證，從而形成了微積分的現代體系。在數學分析中，可以說柯西比任何人的貢獻都大，微積分的現代概念就是柯西建立起來的。有鑒于此，人們通常將柯西看作是近代微分學的奠基者。阿貝爾稱頌可惜‘是當今懂得應該怎樣對待數學的人’。并指出：“每一個在數學中喜歡嚴密性的人，都應該讀柯西的杰出著作《分析教程》。”柯西將微積分嚴格化的方法雖然也利用無窮小的概念，但他改變了以前數學家所說的無窮小是固定數。而把無窮小或無窮小量簡單的定義為一個以零為極限的變量。他定義了研究了行列式的理論，并得到了有名的賓內特—柯西公式。他總結了多面體理論，證明了費馬關于多角數的理論等等。

柯西的另一個重要貢獻，是發展了復變函數的理論，取得了一系列重大的成果，特別是他在1814年關于復數極限的定積分的論文，開始了他作為單復變量函數理論的創立者和發展者的偉大業績。他還給出了復變函數的幾何概念，證明了在復數范圍內冪級數具有收斂圓，還給出了含有復積分限的積分概念以及參數理論等。

柯西還是探討微分方程解的存在性問題的第一個數學家，他證明了微分方程在不包含奇點的區域內存在著滿足給定條件的解，從而使微分方程的理論深化了。在研究微分方程的解法時，他成功提出了特征帶方法并發展了強函數方法。

柯西最重要和最有創造性的工作是關于單復變函數論的。18世紀的數學家們采用過上、下限是虛數的微積分，但沒有給出明確的定義。柯西首先闡明了有關概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實定義積分的計算，級數與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。

柯西在綜合工科學校所授分析課程及有關教材給數學界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發明微積分(即無窮小分析。簡稱分析)以來，這門學科的理論基礎是模糊的。為了進一步發展，必須建立嚴格的理論，柯西為此首先成功地建立了極限論。

柯西在分析方面最深刻的貢獻在常微分方程領域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒有人提出過這種問題，通常認為是柯西提出的三種方法，即柯西—利普希茲法，逐漸逼近法和強級數法。實際上以前也散見到用于解的近似計算和估計。柯西的最大貢獻就是看到通過計算強級數，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程所求的解。

雖然柯西主要研究分析，但在數學各領域都有貢獻。關于用到數學的其他學科，他在天文和光學方面的成果是次要的，可是他卻是數理彈性理論的奠基人之一。除以上所述外，他在數學中其他光學如下：

⒈分析方面：在一階偏微分方程論中行進了特征線的基本概念;認識到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。

⒉幾何方面：開創了微分幾何，得到了把平面曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。

⒊代數方面：首先證明了階數超過了的矩陣有特征值;與比內同時發現兩行列式相乘的公式，首先明確提出置換群概念，并得到群論中的一些非平凡結果，獨立發現了所謂“代數要領”，即格拉斯曼的外代數原理。

作為一位學者，柯西思路敏捷，功績卓著。由他眾多的論著和成果，人們不難想象他的一生是怎樣孜孜不倦的工作。但柯西卻是個具有復雜性格的人。他是忠誠的保王黨人，熱心的天主教徒，落落寡歡的學者，尤其作為久負盛名的科學泰斗，他常常忽視青年學者的創造。例如，由于柯西失落了才華出眾的年輕數學家阿貝爾和伽羅華的開創性論文手稿，造成群論問世晚半個世紀。

盡管很多人都在議論他的缺點，但我們更應該看到他在數學發展上不可替代的地位。每當我看到以柯西命名的定理和公式來解決問題時，每每都驚嘆于其睿智的思路。我是學數學的，這位多產數學家對數學的執著和其刻苦鉆研的精神正是我要學習的，在這里，我要再次像這位大數學家表示我的崇拜和敬仰之情。

[1]牛秋業，王修智.古今中外科技名人[M].山東：山東科學技術出版社，2007.

[2]王芝平，易南軒.數學星空中的璀璨群星[M].北京：科學出版社，2009.