初中數(shù)學“根的判別式”的應用

在初中數(shù)學教學中，根的判別式不僅僅用于解決一元二次方程的有關問題，在二次三項式、二次函數(shù)等問題中的應用也極為廣泛。我們?nèi)裟苁炀氄莆账母鞣N用法，可以提高解題能力和綜合應用知識的能力。下面舉例說明它的幾種常見應用。

要點復習：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式是△=b2-4ac

（1） △=b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2） △=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3） △=b2-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根。

反之也成立。

一、 解決一元二次方程根的情況的有關問題

例1 方程2x2+mx-1=0的根的情況是（ ）

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根

D.不能確定

解析：因為b2-4ac=m2-4×2×（-1）=m2+8>0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根。故答案選A。

二、 解決根與系數(shù)的關系的有關問題

例2 關于x的方程x2-（m -1）x-3m-2=0的兩個實數(shù)根的平方和為17，試求m的值。

解析：設該方程的兩個根為x1、x2，則x1+x2=m-1，

x1x2=-3m-2，所以x12+ x22=（x1+x2）2-2 x1x2=m2+4m+5=17，解得m=-6或2。當m=-6時，△=m2+10m+9=-15<0，方程無實數(shù)根，應舍去；當m=2時，△=m2+10m+9=33>0，方程有實數(shù)根，故只取m=2。

三、 判定二次三項式是完全平方式的應用

例3 若關于x 的二次三項式x2+ kx+9是完全平方式，則k的值=______；

若關于x 的二次三項式（k+1）x2+kx-1是完全平方式，則k的值=______。

解析：因為x2+kx+9是完全平方式，所以x2+ kx+9=0有兩個相等的實數(shù)根，即b2-4ac=k2-4×9=0，所以k=±6；同理，

k2+4（k+1）=0，得k=-2。

四、 解決根的判別式的判別式問題

例4 關于x的方程x2-2mx+2m+k=0有有理根，其中m為有理數(shù)，試求k的值。

解析：因為方程有有理根，所以△=4m2-4（2m+k）=4m2-8m-4k是完全平方式，因此判別式的判別式△′=0，即

82 -4×4×（-4k） =0，所以k=-1。

五、 判斷二次三項式能否在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解

例5 二次三項式2x2-3x+2能否在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解？

解析：因為方程2x2-3x+2=0的△=（-3）2-4×2×2=-7<0，而這個方程沒有實數(shù)根，所以2x2-3x+2不能在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解。

六、可以利用根的判別式來求函數(shù)的最值問題

例6 試求二次函數(shù)y=x2-2x-3的最大（最小）值。

解析：將y=x2-2x-3變形為x2-2x-3-y=0，可以看作關于x 的一元二次方程。因為x是實數(shù)，△=（-2）2-4×1×（-3-y）≥0，所以y≥-4。

七、解決二次函數(shù)的交點問題

例7 已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），試探究該拋物線與x軸交點的情況。

解析：令y=ax2+bx+c，則

（1）當△=b2-4ac>0時，ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根x1和x2，即拋物線與x軸有兩個交點（x1，0）、（x2，0）；

（2）當△=b2-4ac=0時，ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根x1=x2，即拋物線與x軸只有一個交點（x，0）；

（3）當△=b2-4ac<0時，ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根，即拋物線與x軸沒有交點。

練習：

1.試判斷下列拋物線與x軸交點的情況：

2.已知拋物線y=x2-2x-m-1，試問

（1）當m為何值時拋物線與x軸有兩個交點？

（2）當m為何值時拋物線與x軸只有一個交點？

（3）當m為何值時拋物線與x軸沒有交點？

責任編輯：周瑜芽