中學數學解題途徑六法

摘 要：“良好的方法能使我們更好地發揮運用天賦的才能，而拙劣的方法可能阻礙才能的發揮。”數學習題類型繁多，技巧靈活，不可能總結出一套普遍適用的解題法則.一些結構簡單的問題，通過精心的聯想就能找到合 數學習題類型繁多，技巧靈活，不可能總結出一套普遍適用的解題法則.一些結構簡單的問題，通過適當的聯想就能找到合理的解題途徑；而結構復雜，抽象多變的數學題，需要在聯想的基礎上，聯合運用解題方法和技能技巧，才能逐步探求解題線索.本文以各種數學思維方法作指導，總結出六種中學數學解題的途徑，供同仁們參考.

一、枚舉尋徑法

有些數學問題中包含著多種可能情形，難以用一個算式完成解答.這時可以根據問題的條件，把各種可能情況一一列舉分別予以考查，從而完成原題的解答.這是完全歸納法在解題中的具體運用.在枚舉各種可能情況時，要充分利用劃分的思想，做到既不重復，又不遺漏.

例1.就k的不同取值，討論方程x2+（k-1）y2-3ky+2k=0代表何種曲線.

思考方法：這是一道解析幾何的討論題，枚舉k值的各種情況，就是對k值進行劃分.為此應用二元二次方程的判別式ΔB2-4AC可以從定型和定位入手，對k進行二次劃分.

略解：ΔB2-4AC=02-4×1×（k-1）=4（1-k）.

若Δ>0，即k<1時，方程代表雙曲線形.當k<-8或0

若Δ=0，即k=1時，方程代表拋物線形.此時方程為x2=3（y-■）即表示頂點在（0，■），對稱軸為y軸，開口向上的一條拋物線；

若Δ<1，即k>1時，方程代表橢圓形.當12時，表示長軸平行于x軸的橢圓.

二、特殊探索法

當一個問題無法入手時，我們不妨先考慮一下這個問題的特殊情況，當特殊情況得到解決的辦法時，往往會對一般的解法有所啟示，從而探明解題方法.特殊法是不完全歸納法在解題中的靈活運用.

例2.在△ABC中，AB=AC，證明BC邊上的任意一點P到其他兩邊的距離和是一個定值.

思考方法：定值多少不知道，而P又是BC上的任意一點是導致解題困難的原因.把點P取為一個特殊點B，試一試看.

證明：當點P就是B點時，它到兩邊距離之和就是AC邊上的高BD.任取BC邊上一點P，由點P分別向AC、AB作垂線，垂足分別是E、F，現在只需證PE+PF=DB即可.作PG//AC，交BD于點G，于是PE=GD，且∠FBP=∠C=∠CPB，從而Rt△PGB≌Rt△PFB，因而PF=BG，于是，PE+PF=BG+GD=BD.證畢.

三、逆推嘗試法

有些數學問題，條件和結論之間的關系比較復雜，直接從已知條件入手有時會在途中迷失方向，使解題無法進行下去.在這種情況下，不妨按照下面的途徑來逆推：（1）假設結論成立，看看可以推出什么性質；（2）想一想推出的性質和結論是不是互逆的，如果可逆，那么推出的性質可以作為結論的“需知”；（3）進而考查推出的性質和條件在邏輯上有什么必然的聯系，從而使解題的方向逐步明確.逆推法是分析法在探索解題途徑中的運用.

例3.在△ABC中，若sinA，SinB，SinC成等差數列，求證：cot（■），cot（■），cot（■）也成等差數列.

思考方法：假設結論成立，即有cot（■）+cot（■）=2cot（■）……（1）而由條件可推得sinA+sinC=2sinB……（2），為證得結論成立，只需由（2）推出（1）.

證：由已知條件得，sinA+sinC=2sinB即2sin[■]cos[■]=

2sin（A+C）

由此得2sin[■]cos[■]=4sin[■]cos[■]，而sin[■]≠0.

得cos[■]=2cos[■]，移項得，cos[■]-cos[■]=cos[■]，即2sin（■）sin（■）=sin（■）（3），又cot（■）+cot（■）=

■+■=■=■=■=2cot（■），故命題得證.

四、變更問題法

數學是一個有機的整體，它的各部分之間相互聯系，相互滲透，為問題的轉化提供了有利的條件.有些數學問題使用通常方法難以奏效時，可以根據題設及其特點把問題轉化為另一種易于求解的形式，從而尋求原題的解題途徑.

例4.已知a■+b■=1，求a2+b2.

思考方法：用常規進行思考，將遇到困難.但觀察已知等式可得，1-≤b≤1，且a、b中至少有一個為正數.于是不妨設a=sinα， 0≤a≤■，b=sinβ，-■≤β≤■.將問題轉換為三角問題.

解：a=sinα，0≤α≤■，b=sinβ，-■≤β≤■.

由題設得sinα cosβ+cosα sinβ=1，即sin（α+β）=1

因為-■≤α+β≤π，所以α+β=■，α=■-β，

故a2+b2=sin2α+sin2β=sin2（■-β）+sin2β=cos2β+sin2β=1.

五、數形結合法

直角坐標平面和極坐標平面上的點與曲線，復平面上的點和向量，它們都與有序實數對或方程與之對應.這種對應奠定了數形結合的理論基礎.“數離形時缺直覺，形缺數時難入微”.一般來說，與方程、函數、不等式、復數及三角有關的問題，運用“形”這個直觀模型，常有變中求定，動中求靜，化難為易之作用.

例5.解不等式4■<2-■

思考方法：如果采用純代數方法解，將要分多種情況討論，而且計算量大，采用數形結合，則能克服上述弊端.

解：令y1=4■，y2=2-■即求y1

的解集為[-2，■][■，2].

六、化簡條件法

有些數學問題，結構比較復雜，不太容易入手。這時可以簡化題中的某些已知條件，甚至暫時撇開不管，先開了一個簡化命題.這種簡化問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用.簡化條件法是類比法在解題中的具體運用.

例6.設a，b，c均是非負實數，且a+b+c=1.又設x1，x2，x3均為正數，且y1=ax1+bx2+cx3，y2=bx1+cx2+ax3，y3=cx1+ax2+bx3

求證：y1y2y3≥x1x2x3.

思考方法：本題條件比較復雜，注意到x1，x2，x3；y1，y2，y3具有輪換對稱的特點，我們可以把原題減少一個變量，考慮下面的簡化命題：

設a，b是均非負實數，且a+b=1，又設x1x2均為正數，且y2=bx1+ax2.求證：y1y2≥x1x2.

簡化后的命題比原命題要簡單得多，顯然有y1y2=（ax1+bx2）（bx1+

ax2）=ab（x21+x22）+（a2+b2）x1x2≥2abx1x2+（a2+b2）x1x2

=（a+b）2x1x2=x1x2

化簡后的命題與原命題的結構完全一致，于是上述證明途徑，可用以指導原題的證明.應用均值不等式、三數和的立方公式及不等式的性質不難證明原題。

化簡命題法體現了解題中“進”與“退”的辯證思想，當“進”有困難時，不妨暫時退下來，退到容易看清楚問題的地方，看透了，認準了，然后再前進.

關于中學數學的解題途徑，絕不止上述六種。教師在傳授知識的同時特別在例題的教學中，要不時時機地滲透數學思想，總結解題方法和揭示解題途徑.這樣，對培養學生的邏輯思維，形成一定的數學能力有著極其重要的意義.

參考文獻：

王仲春，李元中.數學思維與數學方法論.高等教育出版社，1989.

（作者單位 新疆維吾爾自治區霍城縣第二中學）理的解題途徑；而結構復雜的數學題一般需要聯合運用多種解題方法和技巧，才能探求解題線索。以各種數學思維方法作指導，結合教學實踐，總結出六種中學數學解題的途徑，供數學愛好者參考。

關鍵詞：解題途徑；數學思維方法；枚舉法；逆推嘗試法；數形結合法；變更問題法