享受圖形變化中的數學魅力

中圖分類號：G623.56 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2013）02-0042-03

“數學好玩”曾經是數學家陳省身先生對數學的贊美。但為什么數學所特有的魅力，對許多學生來說常常難以感受呢？這值得我們思考。全國知名特級教師錢金鐸執教四年級數學《圖形的變化》給我很大的啟發。課堂上，教者智慧和藝術地展示了圖形的魅力，在“折一折、拼一拼、擺一擺”中撥動了學生的好奇心，讓學生覺得數學好“玩”，在“玩”中學好了數學，增長了智慧。現摘錄其中的教學片斷，與老師們共賞。

片段一 折一折，初步感知

教者拿出一張白紙，請學生回答其形狀特征。

師：你對長方形很有研究?，F在我們不研究長方形，而是想辦法使這個長方形變成正方形？你有辦法嗎？

生：量出它的寬邊。

師：假如它的寬邊是20厘米。

生：把長邊也變成20厘米，就變成正方形了。

師：你們同意嗎？

生：同意。

師：現在我沒有尺子，有什么辦法使它變成正方形呢。

生：我把它折成一個三角形。

師：好，舉起來，你折給大家看一看（如圖1-1）

這是什么圖形？

生：梯形，直角梯形。

師：要變成正方形，怎么辦？

生：外面的剪掉。

師：現在我不剪掉，把它折起來，現在是正方形了，正方形有什么特征？

生1：正方形有四條對稱軸。

生2：正方形四條邊相等，四個角是直角。

師：你有什么方法來證明？

生：折一下，剛才折的過程就證明了它的兩個鄰邊是相等的（如圖1-2）。

【賞析】著名心理學家皮亞杰說過，兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就得不到發展。操作是智力的源泉、發展的起點。在教學活動中，教者不但自己重視直觀演示，更重要的是讓學生動手操作，一張簡簡單單的長方形紙，在教者問題的引領下，立刻變得神奇起來。學生們有的量，有的折，興趣盎然。“沒有尺子怎么辦？你有什么方法來證明？”這里，操作不是一種簡單的模仿，而是一種有過程的思考。通過“折一折”，學生初步感知了圖形的變化與聯系。

片段二 折兩折，引發猜想

教者讓學生猜想一個正方形，如果對折兩次，可能會折成什么圖形，把圖形寫在練習紙上。

學生認為有三角形、小正方形和長方形。

師：這是我們的猜想，這三種圖形是不是都能折成呢？我們一起來觀察。對折一次變成——

生：長方形。

師：再對折一次呢？

生：正方形。

師：怎么折？試試看，用手比劃一下，是上下折還是左右折。

生：上下折（如圖2-1）。

師：那么，如果把這個長方形左右折呢？

生：還是一個長方形。（如圖2-2）

師：剛才有小朋友說，能折成三角形的，怎么折？

生：對邊折。不，是對角去折。

師：折一次，什么形？再對折一次呢？（如圖2-3）假如說，我折100次，這三種可能是不是還存在呢？同桌商量一下。

師：我們先來看三角形，第一次對折后是三角形，第二次對折后還是三角形，第三次呢？這種折法，以后每一次對折后的圖形都是……

生：三角形。

師：如果按照第二圖的思路折下去，對折100次以后變成什么？

生：折不了啦。

師：可能很難折了，但是我們想象一下，是不是還可以折成……。（長方形）那么，如果按照第一圖的思路折下去，折出正方形有沒有條件？

生：折的次數一定要是雙數。

師：現在我還有一個問題，對折兩次以后形成的三角形、正方形和長方形，那個圖形的面積大？有什么根據？

生：我認為一樣大。

師：什么道理？

生：因為對折就是一半的面積，再對折，就是一半的一半的面積。

師：真棒！我們班的孩子，不但會觀察，而且會思考。

【賞析】愛因斯坦曾說過，想象力比知識更重要。因為知識是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且它是知識進化的源泉?！罢蹆纱螘兂墒裁磮D形呢？”教者讓學生先猜一猜，嘗試著作出判斷，然后再實際地看一看，把看到的和想象的進行比較，繼而得出正確的結論?！皩φ?00次變成什么？”“對折兩次以后面積相等嗎？”這些知識基于現實，同時又高于現實，這將有助于學生積累想象的經驗，提高把握物體之間關系的能力，發展了學生的空間觀念。

片段三 拼一拼，感悟變化

師：我們已經拼成了五種圖形（如圖3-1），如果說，我讓三年級的小孩子去拼，時間多一點，他們也能拼得出。我們是四年級了，拼出以后還要去思考：這五個圖形，你仔細觀察以后，有沒有發現，它們有什么相同的地方？還有什么不同的地方？

生：相同的是它們的面積一樣大。

師：有沒有教過三角形的面積怎么算？梯形的面積有沒有算過？

生：沒有。

師：但是你們為什么說面積一樣呢。

生：因為這幾個圖形都是由4個同樣大小的三角形組成的。

師：好！他能夠把原來的知識用上去，得出面積一樣。那什么地方不一樣？

生：周長不一樣。

師：大家同意嗎？

生：同意。

師：但是我不同意，所有的圖形周長不一樣？

生：我也不同意，我本來就不同意。

師：你不同意，那你說說看。

生：我認為平行四邊形和梯形的周長一樣的。

師：這五個圖形的周長有沒有一樣的，馬上找一找，哪幾個圖形的周長一樣，同桌商量。

師：靠擺是擺不出來的，要觀察，要思考。

生：平行四邊形和梯形的周長是一樣的。

師：有什么根據？

生：我們只是把右邊的一個三角形換了個位置，其余沒變，它們的周長還是一樣的。

師：還有沒有和它們周長一樣的呢？

生：還有三角形。

師：為什么？

生：因為三角形的周長也有這樣的4條短邊，兩條長邊，和平行四邊形、梯形一樣。

師：拼成的五種圖形周長有的是一樣的，有的是不一樣的，但面積都一樣的。

【賞析】數學是研究數量關系和空間形式的科學。空間形式最主要的表現就是圖形。圖形是數學的研究對象。生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發展學生空間觀念的有效途徑。“三角形的面積你學過？梯形的面積你學過？那你為什么說相等？”用問題牽引著學生去思考、去發現。“它們的周長一樣嗎？”圍繞問題去觀察、去想象?！坝袌D真好！”圖形可以幫助我們把抽象的數學問題變簡單，學會用圖形思考、想象能使我們更好地感知數學、領悟數學。

片段四 擺一擺，探究規律

教者出示一個小正方形。

師：至少用幾個這樣的小正方形又能拼成一個大一點的正方形。

生：4個。

師：同意嗎？你們同意不同意？

生：同意。

師：腦子里面想一想，怎樣來擺一擺？出示圖形（如圖4-1），是不是大一點了？

師：如果要再大一點呢，現在你說要幾個了？

生：9個。

師：有沒有反對意見，我們來檢驗一下。出示圖形（圖4-2）。說明9個也能擺成正方形。

師：如果我不畫下去了，你會馬上推算出后面應該是幾個，再后面又是幾個了。同桌商量，馬上把結果告訴大家。

生：16個，25個。

師：根據是什么？誰愿意講？

生：我們可以用乘法口訣的，1×1、2×2、3×3、4×4、5×5……

師：如果我照這樣擺下去，第十次要多少個正方形？

生：100個。

師：為什么是100個？

生：因為第十個是10×10=100（個）。

師：其實正方形可以不這樣擺，我們換一種擺法，擺一個正方形要用幾根火柴？（4根）

師：你說，擺兩個要幾根？

生：8根，不對，要7根。

師：為什么不是8根

生：因為有一根可以并用（如圖4-3）。

師：擺一個正方形要4根，兩個正方形要7根，那么擺三個、四個正方形呢？同桌交流一下，你有什么發現？。

生1：三個正方形需要10根。

生2：四個正方形需要13根。

師：如果是10個正方形，你們的答案是多少？

生：31根。

師：說一說，你的答案是怎么來的？

生：我發現，火柴的根數總是正方形個數的3倍多1，正方形10個，那么火柴的根數就是：

3×10+1=31（根）。

師：這個方法對不對？我們來驗證一下，4個正方形時，火柴的根數：3×4+1=13（根），看來這個方法不錯，那么，還有沒有其他的規律呢？

生：擺4個要13根。而且我們已經知道，每增加一個正方形就多3根火柴棒，從擺4個到擺10個，增加了6個正方形，就要多3×6=18根，13+18=31（根）。

師：你們同意嗎？誰能說說3×6什么意思？

生：除了第一個正方形要4根，以后每增加一個正方形就多3根，從4到10，增加了6個正方形，就要多3×6=18根。

【賞析】“數”和“形”是數學中最基本的兩個概念。數學家華羅庚先生說過，數無形時不直觀，形無數時難入微。直觀，它不是一種技能技巧，而是一種隱性的數學思想。通過擺一擺，拼一拼，讓圖形動起來。然后我們在運動或變化中去分析和理解。一方面，通過研究，加深了學生對圖形性質的本質認識；另一方面，對學生直觀能力也是一種提升。從用小正方形擺大一點的正方形，再大一點的正方形，從用火柴棒擺一個、兩個正方形到擺若干個正方形，需要多少根火柴棒，這里凸顯的是兩種不同的解題思路。畫圖，其實質就是將相對抽象的思考對象圖形化，把問題、計算和證明等數學的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維。課堂上，學生不但覺得數學好“玩”，而且還能“玩”好。

（作者單位：海安縣明道小學，江蘇，南通 226600）