培養數學思維的批判性和敏捷性

數學思維的批判性是一種思維品質，它指學生在思維活動中善于估計思維材料、檢查思維過程，不盲從、不輕信。思維的批判性來自學生對思維活動各環節、各方面的調整、校正，即自我意識。這種自我意識的“調整”“校正”又來自學生對問題本質的認識。只有深刻的認識、周密的思考，才能全面正確地作出判斷。因此，思維的批判性是在深刻性基礎上發展起來的思維品質。

在掌握知識的過程中，教師要鼓勵學生獨立思考，發表自己的見解，形成“自由爭辯”的學風。小學生往往受思維定勢的影響，盲目隨從，這不利于增強思維的批判性。為克服學生的盲從心理，教師有時可故意制造一些錯誤，讓學生去發現、評價。如教學三角形面積，出示圖，要求學生根據圖中數據用兩種方法求圖形面積（單位：厘米）。學生計算后發現，兩組相對應的底和高求出的面積不相等。這是為什么？教師便引導學生討論，找原因，從而發現，兩條直角邊長度之和等于另一條邊，就不可能組成一個三角形。這樣設計，在審題時即對題目條件的可靠性進行論證，無疑培養了學生思維的批判性。同時還向學生滲透了“三角形兩邊之和必大于第三邊”的知識。

在運用知識解決數學問題的過程中，教師應著力培養學生“自我反省”的習慣。由于學生自我意識的發展還不成熟，往往忽視自己的內部心理活動，對自己思維的破綻、錯誤不易注意。因此，在組織練習的過程中，要經常引導學生反省自己的思維，自覺地表述思維過程，自覺地加以檢驗。另外，進行多項選擇題的訓練，也有利于思維批判性的發展。多項選擇題和其他類型相比，問題提法改變了，題目雖然不大，涉及內容卻很廣，有很多的陷阱，要想選出正確的答案，必須用批判的態度去思考。數學思維的敏捷性是指思維過程的簡縮性和快速性。具有這一思維品質的人處理問題和解決問題時能適應緊急的情況，迅速作出正確判斷。在數學學習中，具有這一品質的學生能縮短運算環節和推理過程，“直接”得到結果。克魯捷茨基的研究表明，推理的縮短取決于概括，“能‘立即’進行概括的學生，也能‘立即’進行推理的縮短。”

小學生數學思維的敏捷性，在概括過程中表現為善于快速地概括出數、式、形和數量關系中的數學特征、規律以及相應的解題技巧；在理解過程中表現為善于迅速地抓住數學問題的實質，熟練地進行等價變換；在運用過程中表現為用壓縮了的結構進行數學思維，思路清晰，彎路少；在推理效果上表現為從冗長的分析推理中解脫出來，減少中間環節，簡縮數學推理過程和相關的運算系統。

培養和訓練學生思維的敏捷性，在掌握知識的過程中，要注意抓基礎促遷移，于簡明的結構中包含較大的知識容量，把小學數學中的基本概念和基本原理放在教材的中心地位，作為教材的基本結構，并充分發揮這種知識結構所具有的知識之間的聯結和轉換功能。例如，以“兩商之差”數量關系為基本結構的應用題，抓住a/b-a/c=f這一結構形式，就可把以下具有可逆關系的12種題型統一在這個關系之中。

（1）原計劃30天生產360臺機器，實際20天完成。實際每天比原計劃多生產多少臺？（360/20-360/30=f）

（2）生產360臺機器，原計劃每天生產12臺，實際每天生產18臺。實際可提前幾天？（360/12-360/18=f）

（3）原計劃30天生產360臺機器，實際每天多生產6臺，實際多少天完成？（360/b-360/30=6）

（4）生產360臺機器，實際每天生產18臺，結果提前10天完成。原計劃每天生產幾臺？（360/b-360/18=10）

（5）生產360臺機器，實際20天完成，每天比原計劃多生產6臺，原計劃多少天完成？（360/20-360/c=6）

（6）生產360臺機器，原計劃每天生產12臺，實際提前10天完成，實際每天生產幾臺？（360/12-360/c=10）

（7）生產一批機器，原計劃30天完成，實際20天完成。實際每天比原計劃多生產6臺，這批機器有多少臺？（a/20-a/30=6）

（8）生產一批機器，原計劃每天生產12臺，實際每天生產18臺，結果提前10天完成，這批機器有多少臺？（a/12-a/18=10）

（9）生產360臺機器，原計劃完成的時間是實際的1.5倍，實際每天比原計劃多生產6臺，實際多少天完成？（360/b-360/1.5b=6）

（10）生產360臺機器，實際每天生產的是原計劃的1.5倍，實際提前6天完成。原計劃每天生產多少臺？（360/b-360/1.5b=6）

（11）生產360臺機器，實際完成的天數是原計劃的2/3，實際每天比原計劃多生產6臺，原計劃多少天完成？[360/（2c/3）-360/c=6]

（12）要生產360臺機器，原計劃每天生產的是實際的2/3，實際提前10天完成，實際每天生產多少臺？[360/（2c/3）-360/c=10]

這是一種結構的方法。這種方法高于用單純分析和說明數量關系的解釋方法。其本質是從相互聯系相互作用的內在規律上揭示數量關系。而且研究數量關系的結構形式，可以運用遷移的規律解決同構異素問題。某些應用題盡管在具體內容上不同，但實際上具有相似的結構形式，這就是同構異素問題。教學時可以使形式超脫內容，把不同題材中共同的結構形式分離出來，進一步抽象化、符號化，只研究結構形式之間的關系。一般來說，概括程度越高，遷移量也就越大。小學數學中按照抓基礎、促遷移、簡結構、大容量的原則來組織教學內容，有利于培養學生數學思維的敏捷性。

在運用知識解決問題的過程中，教師可引導學生自覺地、合理地聯想來訓練他們思維的敏捷性。聯想，即把解決簡單問題所采用的手段和所獲得的結論，類推到較復雜的情境中，迅速找到解決問題的辦法。解決數學問題的聯想，大都可以看做關系聯想。數學概念之間、數學現象之間的聯系是多種多樣的，關系聯想是這多種多樣聯想的反映。聯想豐富了，想象也就豐富了，思維的活力增強，思維的敏捷性自然就提高了。