幾何直觀學數學的有效運用

鄭健

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2013）06-0162-01

“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”這是《義務教育數學課程標準（2011年版）》闡述課程內容中的一句話，其中“幾何直觀、運算能力和模型思想”是這次新課程標準中新增加的內容，凸顯了其在義務教育階段數學課程中的重要性。

那么，什么是幾何直觀呢？幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。這里的“圖形”主要指點、線、面、體以及以上四要素組成的其它幾何圖形；幾何直觀所要描述和分析的問題，不僅可以是生活問題，而且可以是數學問題。為什么在2011年版新課程標準中，要提出應當注重發展學生的幾何直觀呢？

一、幾何直觀有助于學生對數學概念的理解

小學生是按照“感知——表象——概念”這一規律學習數學知識的。幾何直觀可強化感性認識，能為建立清晰而準確的概念打下基礎。

例如，教學“三角形的認識”時，為了讓學生能準確理解什么是三角形？導入新課，老師可讓學生拿出自己的三角板摸一摸它的外觀，引導學生說出這就是“三角形”后，并讓學生用三角板畫出“三角形”，再讓學生說一說：“你是怎樣畫三角形的？”“用三條線段首尾相接畫成一個三角形。”接著問：在生活中還有哪些物體的外形是三角形的？學生舉例：紅領巾、小三角旗、自行車框架、屋架等，教師隨之播放準備好的課件，呈現這些幾何圖案。接著引導學生“做”三角形：用三根小棒擺一擺，擺成一個三角形，并讓一名學生在實物投影儀上操作演示，并讓這位學生說一說：“你是怎樣擺的？”“用三根小棒首尾相接擺成一個三角形。”其他同學也互相說一說，怎樣擺成三角形？此時，老師在黑板上畫一個三角形，然后對學生說：“通過剛才畫三角形、擺三角形，你們說說看，什么樣的圖形叫三角形呢？”在學生討論交流的基礎上得出結論：由三條線段圍成的圖形叫作三角形。以上認識三角形的過程，就是充分利用幾何直觀，即通過摸、畫、做等有形的三角形，來認識三角形、描述三角形，直至概括出什么是三角形。通過幾何直觀的感性認識，為描述清晰而準確的“三角形”概念起到了關鍵的作用。

二、幾何直觀有助于發展學生的空間觀念

培養空間觀念是小學數學新課程標準的重要內容之一。空間觀念是指物體的大小、形狀及相互位置關系在頭腦中留下的表象。小學生的空間觀念往往是在直觀學習幾何知識中形成的，或學生利用形象直觀的幾何圖形來描述和分析問題，解決問題，獲取知識的同時，反過來又在大腦中建立了物體的大小、形狀等表象，發展了自己的空間觀念。因此，要讓學生通過各種觀察、實際操作直觀的幾何圖形，來描述分析問題，在解決問題和獲取知識的過程中，促進空間觀念的形成和發展。

例如，在“圓柱的表面積”教學中，學生通過觀察圓柱體，明確圓柱的表面積包括“圓柱的側面積和兩個底面的面積”后，老師重點引導學生思考：“圓柱的側面積是一個曲面怎樣計算呢？”“能不能把曲面變成平面呢？”接下來重點引導學生動手操作：“能不能把圓柱的側面積展開來看一看，﹙拿出一張長方形或正方形的紙裹住圓柱，但用長方形的紙比較好理解下面的操作過程﹚我們可以把裹住圓柱的長方形紙看作圓柱的側面，同桌的同學共同試一試，看有什么發現？”學生合作探究：并觀察思考展開后紙的形狀與圓柱體的側面有什么關系？即長方形與圓柱體的側面有什么關系？探究發現：長方形的大小就是圓柱側面的大小，長方形的面積就是圓柱的側面積，長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高，圓柱的側面積=長方形的長×寬=圓柱的底面周長×高；圓柱的表面積=圓柱的底面周長×高+兩個底面的面積。

三、幾何直觀有助于學生對復雜數學問題的理解

《義務教育數學課程標準（2011年版）》課程內容中的說明：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”

例如，在教學“乘法分配律”時，可以借助兩個平面組合圖形求其面積之和的過程，簡明、形象的呈現不易理解的“乘法分配律”的產生和由來，運用幾何直觀，把抽象的“乘法分配律”變得簡明、形象，易于學生理解和識記。下面是作者引導學生發現“乘法分配律”的教學過程，步驟如下：①上課伊始，引導學生取出一張長方形的紙，給這個長方形的長寫上字母“m”，寬寫上字母“a”，再寫出它的面積：s=m×a。②接下來，引導學生把這個長方形分為兩個小長方形，且兩個小長方形的“寬”都是“a”， 將兩個小長方形的“長”分別寫上“b”和“c”，且m=b+c，那么大長方形的面積等于兩個小長方形的面積之和，即：m×a=﹙b+c﹚×a；反過來引導學生觀察思考：因為兩個小長方形的面積之和正好等于這個大長方形的面積，即b×a+c×a=m×a=﹙b+c﹚×a，所以，﹙b+c﹚×a=b×a+c×a或﹙b+c﹚a=ba+ca。從而得到結論：“兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與這個數相乘，再相加，這叫做乘法分配律。”顯然，以上“乘法分配律”的教學，充分運用平面幾何的直觀作用和效果，將頗為復雜且難于理解的“乘法分配律”問題，變得簡明、形象、易解了，學生的思路也如水到渠成般順暢。顯而易見，學習效果十分理想，既在理解中掌握了知識，又拓展了學生的思維。