引力勢能公式的推導及應用

曹鐵嶺

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2013）06-0171-01

2007年全國高考理綜卷Ⅱ第20題：假定地球，月球都靜止不動，用火箭從地球沿地月連線向月球發射一探測器.假定探測器在地球表面附近脫離火箭.用W表示探測器從脫離火箭處飛到月球的過程中克服地球引力做的功，用Ek表示探測器脫離火箭時的動能，若不計空氣阻力，則（ ）

A. Ek必須大于或等于W，探測器才能到達月球

B. Ek小于W，探測器也可能到達月球

C. Ek= W，探測器一定能到達月球

D. Ek= W，探測器一定不能到達月球

該題目A、B選項中，由于月球引力也會對探測器做功，由動能定理不難得出B選項正確，但對于C、D選項中，由于引力是變力，無論定量計算還是定性判斷都很困難，但若能利用引力勢能公式Ep=-G ，則會起到事半功備的效果。現將該公式推導如下。

設萬有引力常量為G，地球的質量為M，地球外某質點的質量為m，取無窮遠的引力勢能為0。當質點從地球外A點（距地心為r0處）移動到B點（距離地心為r處），如圖所示，地球引力F對質點做的功為W，將r0到r之間的距離分為n段，每一段的距離為Δr=（r-r0）/n， 即r=r0+nΔr，當n→∞時，Δr→0，在每一段Δr 內引力F可看作是恒力，質點從r0到r，引力F做的總功為

W= = Δr=-GMmΔr（ + +…+ ）

=-GMmΔr（ + +…+ ）

≈-GMm（ + +…+ ）

=-GMm（ - + - +…+ - ）

=-GMm（ - ）=-GMm（ - ）

取無窮遠處引力勢能為0，當r →∞時，W=- ，所以r0處的引力勢能為EP=W=-G 。

月地之間的距離大約是地球半徑的60倍，對于C、D選項，由題意并根據引力做功與引力勢能變化的關系有

W≈-G -（-G ）≈0-（- ）≈G ①

其中R地為地球本身的半徑。若不考慮月球引力，設探測器離地心的最遠距離為r，則由題意并根據機械能守恒定律得

Ek= =-G -（-G ） ②

由①②解得：r=2R地，所以若不考慮月球的引力，對于初動能Ek= W，探測器只能從地球表面運動到離地心2R地處，在這個距離內，月球引力做的功完全可以忽略。而探測器要想到達月球表面，則至少要到達地球引力和月球引力相等的位置，即探測器距離地心的距離一定大于30R地，顯然對應 W的初動能，探測器遠遠不能到達該位置，所以D選項是正確的。

綜上所述，該題目應該選B、D。若能記住、理解引力勢能公式EP=-G ，并根據實際情況進行合理估算，該題目就能很快得出正確答案。