《最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)》的教學(xué)思考

陳愛明

【關(guān)鍵詞】《最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)》 教學(xué)思考 課堂實(shí)錄

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）09A-0060-02

“數(shù)學(xué)思考”即在面臨各種問題情境，特別是非數(shù)學(xué)情境時(shí)，能夠從數(shù)學(xué)的角度思考問題，發(fā)現(xiàn)其中所隱含的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法去解決問題。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在課程總體目標(biāo)中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)”，并把“數(shù)學(xué)思考”作為小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四大目標(biāo)之一。

如何使學(xué)生更多地接觸生活中的數(shù)學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力？下面以兩位教師教學(xué)《最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)》的課堂實(shí)錄對(duì)比案例來談?wù)勅绾位钣媒滩妮d體，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

[課堂實(shí)錄一]

出示題目：用長(zhǎng)3厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形小紙片若干分別鋪在邊長(zhǎng)為6厘米和邊長(zhǎng)為8厘米的兩個(gè)正方形上，正好可以鋪滿哪個(gè)正方形？

（生小組合作擺一擺）

師：在邊長(zhǎng)是6厘米的正方形中，你用小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊擺了幾次，用寬邊擺了幾次呢？你是怎樣列式的？

生：6÷2=3（次）；6÷3=2（次）。

師：邊長(zhǎng)為8厘米的正方形你是怎么擺的？

生：8÷3=2（次）…2（厘米）；8÷2=4（次）。

師：大家想一想，這樣的長(zhǎng)方形紙片還能鋪滿邊長(zhǎng)是多少厘米的正方形？

生小組討論得出結(jié)論：能正好鋪滿邊長(zhǎng)12厘米、18厘米、24厘米的正方形。

師：對(duì)，能正好鋪滿的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。像6、12、18、24……既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)就是2和3的公倍數(shù)。

（揭示課題：公倍數(shù)）

師：下面我們來學(xué)習(xí)求4和6的公倍數(shù)的方法……

[課堂實(shí)錄二]

出示題目：用長(zhǎng)3厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形小紙片若干分別鋪在邊長(zhǎng)為6厘米和邊長(zhǎng)為8厘米的兩個(gè)正方形上，正好可以鋪滿哪個(gè)正方形？

（生小組合作擺一擺）

師：在操作時(shí)，對(duì)所選正方形的邊長(zhǎng)，要考慮滿足什么條件？

生：先用小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊來擺，3厘米3厘米地?cái)[，要正好且沒有剩余；再用寬邊來擺，2厘米2厘米地?cái)[，也要正好而且沒有剩余。

師：你能用算式來驗(yàn)證你的想法嗎？

生：8÷2=4，8÷3=2…2；用長(zhǎng)邊來擺時(shí)能擺2次，但還余2厘米。

生：6÷3=2，6÷2=3；用長(zhǎng)邊和寬邊來擺都正好擺完且沒有余數(shù)。

師：對(duì)，用長(zhǎng)邊3厘米來擺或用寬邊2厘米來擺，都正好擺滿且沒有余數(shù)，那么，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與3和2有什么關(guān)系？

生：這個(gè)邊長(zhǎng)正好能被3或2整除，沒有余數(shù)。也就是說這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是3的倍數(shù)，同時(shí)也是2的倍數(shù)。

師：同學(xué)們說得很對(duì)。總結(jié)概括一下，在什么情況下若干個(gè)小長(zhǎng)方形正好能擺滿一個(gè)大正方形？

生：當(dāng)大正方形的邊長(zhǎng)既是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)的倍數(shù)，也是寬的倍數(shù)時(shí)，小長(zhǎng)方形正好能擺滿大正方形。

師：這樣的小長(zhǎng)方形紙片還能正好鋪滿邊長(zhǎng)是多少厘米的正方形呢？

（生小組討論）

生：要滿足大正方形的邊長(zhǎng)既是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)的倍數(shù)，又是寬的倍數(shù)時(shí)，我們小組討論得出結(jié)論：這樣的小長(zhǎng)方形紙片可以鋪滿邊長(zhǎng)是12厘米、18厘米、24厘米……的正方形。

師：說得真好。誰能重復(fù)，必須滿足什么條件？

師：這里的6、12、18、24既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，我們就說它們是2和3的公倍數(shù)。（指著邊長(zhǎng)6厘米的正方形）這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)6就是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)3和寬2的公倍數(shù)，這時(shí)這個(gè)正方形就能被小長(zhǎng)方形擺滿。誰能說說邊長(zhǎng)12厘米、18厘米的正方形呢？

師：誰能用簡(jiǎn)潔的語句總結(jié)一下，在滿足什么條件時(shí)，大正方形能被小長(zhǎng)方形擺滿？

生：大正方形的邊長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的公倍數(shù)時(shí)能被小長(zhǎng)方形擺滿。

師：下面兩道題，請(qǐng)大家一起解答：

（1）公交車站上4路車每5分鐘發(fā)一輛，10路車每8分鐘發(fā)一輛，首次同時(shí)發(fā)車后，再過幾分鐘這兩路車同時(shí)發(fā)車？

（2）王叔叔沿著路邊栽樹，每隔3米栽一棵，后來王大爺說樹間距太小，最好是4米栽一棵。請(qǐng)問，王叔叔在哪些地方的樹不需要重栽？

……

[反思]

從上面兩例可以看出，實(shí)錄一中教者組織的小組合作、現(xiàn)象探究等活動(dòng)都僅僅是為引出公倍數(shù)這一概念，為教例題而教。而實(shí)錄二中教者更注重引導(dǎo)學(xué)生觀察操作過程與得出結(jié)論之間的因果關(guān)系，從而做出較為理性的更深層次的思考。這不僅僅是把例題當(dāng)作引出倍數(shù)的概念的載體，而且讓學(xué)生在新知學(xué)習(xí)的同時(shí)進(jìn)行著“數(shù)學(xué)思考”能力的訓(xùn)練。

1數(shù)學(xué)思考因“質(zhì)”對(duì)話向縱深掘進(jìn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)求“真”、務(wù)“實(shí)”、尋“根”、探“源”的過程，不能“蜻蜓點(diǎn)水”“淺嘗輒止”，必須通過一定的積累與訓(xùn)練，才能完成對(duì)知識(shí)和技能的建構(gòu)。

實(shí)錄二中教者對(duì)學(xué)生操作結(jié)果沒有簡(jiǎn)單處理，而是通過多個(gè)問題引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考：“對(duì)所選正方形的這個(gè)邊長(zhǎng)，要考慮滿足什么條件？”“都正好擺滿而沒有余數(shù)，那么，這個(gè)邊長(zhǎng)與3和2有什么關(guān)系？”“在什么情況下若干個(gè)小長(zhǎng)方形正好能擺滿一個(gè)大正方形？”“誰能用簡(jiǎn)潔的語句總結(jié)一下，滿足什么條件時(shí)，大正方形能被小長(zhǎng)方形擺滿？”這樣的問題引導(dǎo)使學(xué)生產(chǎn)生了數(shù)學(xué)思考、探究事物本質(zhì)的欲望。從而最終得出“當(dāng)大正方形的邊長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的公倍數(shù)時(shí)正好能被小長(zhǎng)方形鋪滿”這一實(shí)質(zhì)性的結(jié)論。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，因?yàn)橛小百|(zhì)”的對(duì)話，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思考有了一定的深度，更利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的形成。

2數(shù)學(xué)思考因語言訓(xùn)練而有效蓄積

學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力不會(huì)憑空而就，必須借助語言的外殼。有了語言，數(shù)學(xué)思考才能得到表達(dá)與體現(xiàn)，通過語言可以看出思維的有序、邏輯、深度、廣度等。而在新課程改革實(shí)踐中，一些教師為了讓學(xué)生主動(dòng)探索得出新知，重視過程而忽視了語言的訓(xùn)練，學(xué)生思維的表達(dá)或無章可循，或斷斷續(xù)續(xù)，毫無邏輯可言。實(shí)錄一中教師急于引出公倍數(shù)概念，語言表達(dá)的訓(xùn)練淺顯無力，無助于數(shù)學(xué)思考的形成。而實(shí)錄二中，教師不止步于學(xué)生得出“正方形的邊長(zhǎng)除以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都沒有余數(shù)”的淺層結(jié)論，而是進(jìn)一步引導(dǎo)出“整除”“倍數(shù)”“公倍數(shù)”；不滿足于“正方形的邊長(zhǎng)既是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)的倍數(shù)，又是小長(zhǎng)方形寬的倍數(shù)”的描述，而是層層遞進(jìn)，最后概括出“正方形的邊長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的公倍數(shù)”。因而，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行語言訓(xùn)練需注意由淺入深、由易到難、由簡(jiǎn)到繁，訓(xùn)練到位，方能利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的能力。

語言是數(shù)學(xué)思考的“外在工具”，用好了這個(gè)工具能有效地“蓄積”學(xué)生數(shù)學(xué)思考的“內(nèi)在核能”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考得以更充分地發(fā)展。

3數(shù)學(xué)思考因活動(dòng)而得以實(shí)現(xiàn)

作為課程目標(biāo)之一的“數(shù)學(xué)思考”對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和能力發(fā)展有著重要的意義，它蘊(yùn)藏于知識(shí)與技能形成、問題解決的過程之中，不可孤立進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，更不可脫離生活實(shí)際而憑空講解。實(shí)錄二中教者在學(xué)生得出結(jié)論后并沒有急于進(jìn)入“求兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)”環(huán)節(jié)，而是讓數(shù)學(xué)思考順勢(shì)進(jìn)行拓展延伸。

學(xué)生的數(shù)學(xué)思考應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要在數(shù)學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)。在新課程背景下，數(shù)學(xué)教師更要吃透教材的編排意圖，利用教材創(chuàng)設(shè)的情境，充分挖掘可利用的因素，為學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力的發(fā)展帶來源源不斷的有利因素。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)，絕不是讓學(xué)生成為知識(shí)的容器，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)和享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。教師要不斷地為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考帶來機(jī)會(huì)，創(chuàng)造可能，為學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升營(yíng)造更廣闊的空間。

（責(zé)編 楊 春）