淺談三角板在初中數學解題中的作用

張建懷

從小學到中學，一副小小的三角板幾乎是每個人上學必備的最簡單、實用的學習用具.作為工具，三角板可以進行簡單的幾何作圖，可以進行基本的測量，而更多的則是作為命題的載體出現在我們的面前.充分認識三角板，掌握三角板本身具有的數與形的特點，將會給我們的解題帶來極大的幫助.本文將以中考題為例加以說明.

一、利用三角板的三邊關系，解決三角函數問題

在一副三角板中，含45°銳角的三角板三邊之比為1∶1∶2，含30°銳角的三角板三邊之比為1∶3∶2，利用這個結果，可以很快“看出”題目的答案.

例1（2009，廣東中山）如圖1所示，A、B兩城市相距100km. 現計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保護區的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區域內. 請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區， 為什么？（參考數據：3≈1732，2≈1414）

分析：過點P作AB邊上的高PC，得到的Rt△APC和Rt△BPC剛好就相當于一副三角板，利用三邊關系，可設AC=x，則PC=BC=3x，再利用AC+BC=AB=100，列出方程求解即可.

答：森林保護區的中心與直線AB的距離大于保護區的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區.

二、通過三角板的操作實踐，解決幾何中的旋轉問題

將三角板按照特定的方式進行旋轉變換，根據圖形旋轉的性質，利用三角板的特殊邊角關系，借助三角形的全等知識，即可解決問題.

例2（2010，黑龍江牡丹江）在平面內有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和直線l.過點C作CE⊥l于點E，過點B作BF⊥l于點F.當點E與點A重合時（圖2-1），易證：AF+BF=2CE.當三角板繞點A順時針旋轉至圖2-2、圖2-3的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出線段AF、BF、CE之間的數量關系的猜想（不需證明）.

圖2-1圖2-2圖2-3分析：圖形變換改變了圖形的位置，但不改變圖形的大小和形狀.將變化后的圖形與圖2-1進行對比，容易聯想到構造正方形的輔助線的作法.至于線段AF、BF、CE之間的數量關系，則可以由三角形的全等得到.

解：圖2-2結論成立，證明如下.

三、利用三角板建立數學模型，解決實際問題

把題目中隱含的三角板找出來，利用其邊角關系，建立數學模型，對問題的解決將會有出其不意的效果.

例4（2009，福建廈門）我們知道，當一條直線與一個圓有兩個公共點時，稱這條直線與這個圓相交.類似地，我們定義：當一條直線與一個正方形有兩個公共點時，稱這條直線與這個正方形相交.

當直線y=-3x+b與正方形OABC相交時，一定也與線段OB相交，且交點不與點O、 B重合.故直線y=-3x+b也一定與線段OF1相交，記交點為F，則 F不與點O、 F1重合，且OF=d.

（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；

（2）求二次函數解析式；

（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.

分析：本題是一個綜合性比較強的題目，特別是第（3）小題.若能發現圖中隱含的三角板型的三角形并利用其邊角性質來解題，問題將迎刃而解.如圖5-2，由直線l的解析式y=33x+3，易得∠KAB=30°，再由AB與AH關于直線l對稱，可得∠HAB=60°，過K作KD⊥x軸于點D，又因為BK∥AH，得到∠KBD=∠HAB =60°，進而得到三角板型的三角形如△AKD、△BKD.求最小值時作點K關于直線AH的對稱點Q，連結BQ后得到的△BQK也是一個三角板型的三角形，易得HN+NM+MK的最小值為BQ，等于8.

三角板是學生最熟悉的一種數學工具，利用三角板的拼接可以得到不同大小的角、特殊的三角形、特殊的平行四邊形、梯形等幾何圖形；利用三角板還可以畫平行線、角的平分線、線段的垂直平分線、畫線段的黃金分割點等.作為命題的載體，近年的中考題常見有借助于三角板來考察圖形的變換、銳角三角函數、三角形的全等與相似等知識點，乃至在較難的綜合題中也常常出現三角板的影子，而三角板自身的邊角關系的確為解題提供了極大的方便.所以，小小的三角板，往往可以解決大問題，這就要求我們在做題的過程中有敏銳的觀察力，善于觀察，積極思考，逐步提高解決問題的能力.

參考文獻

[1]范良火.義務教育課程標準實驗教科書·數學九上 [M].杭州：浙江教育出版社， 2007.

[2]杜恒斌.三角板在初中數學課堂教學中應用的實踐與研究[J] .浙江省初中數學優秀論文集，衢州，2009.